Calculadora de vetores (produto escalar, produto vetorial, módulo, vetor unitário, ângulo)
Insira dois vetores em 2D ou 3D para calcular instantaneamente o produto escalar, o produto vetorial, o módulo (norma), os vetores unitários e o ângulo entre os dois vetores. Calculadora de vetores gratuita.
O que faz esta calculadora de vetores
Informe as componentes de dois vetores e esta ferramenta devolve de uma só vez o produto escalar, o produto vetorial, o módulo de cada vetor, seus vetores unitários e o ângulo entre eles. É possível alternar entre duas e três dimensões; em duas dimensões o campo do produto vetorial fica vazio, porque essa operação só é definida em três dimensões. A quantidade ax·by − ay·bx às vezes apresentada como "produto vetorial 2D" é um escalar: trata-se apenas da componente z do produto vetorial tridimensional, não de um vetor.
Tudo se resume a operações com as componentes mais uma raiz quadrada e um arco cosseno. O produto escalar é a·b = axbx + ayby + azbz, o módulo é √(x² + y² + z²), o vetor unitário sai dividindo cada componente pelo módulo e o ângulo decorre de cos θ = a·b ÷ (|a||b|). O vetor nulo não tem direção, de modo que não admite vetor unitário nem ângulo; nesse caso a ferramenta sinaliza erro em vez de devolver um número enganoso.
Como usar a calculadora de vetores
- Escolha o número de dimensões Decida primeiro entre 2D e 3D. Ao escolher 3D surge o campo da componente z e o produto vetorial é habilitado.
- Informe as componentes de a e b Preencha x e y (e z em três dimensões). Valores negativos e decimais são aceitos normalmente.
- Leia os resultados Produto escalar, produto vetorial, módulos, unitários e ângulo aparecem juntos. Em 2D o campo do produto vetorial explica que a operação exige três dimensões.
- Confira as direções no diagrama Em duas dimensões os vetores são desenhados, o que torna muito mais fácil julgar relações de direção e ângulo do que apenas pelos números.
Dicas para aproveitar melhor
- Alterne entre 2D e 3D com as abas acima. Ao escolher 3D, aparecem os campos do componente z e o resultado do produto vetorial.
- Quando o produto escalar é 0, os dois vetores são ortogonais (perpendiculares). Um valor positivo indica um ângulo agudo entre eles; um valor negativo indica um ângulo obtuso.
- O vetor resultante do produto vetorial aponta em uma direção perpendicular a ambos os vetores de entrada, seguindo a regra da mão direita.
- Um vetor unitário é o vetor original dividido pelo seu módulo (norma): tem comprimento exatamente igual a 1 e representa apenas a direção. Use-o sempre que só importar a direção, não a magnitude.
- Inserir um vetor nulo (todos os componentes iguais a 0) torna o módulo igual a 0, então o vetor unitário e o ângulo não podem ser calculados para ele.
Quando o cálculo vetorial aparece
Conferir exercícios e simulados
Um sinal perdido ou uma divisão fora de lugar muda o resultado de um produto escalar ou de um ângulo. Comparar com a máquina revela isso em segundos.
Cálculo de coordenadas em gráficos 3D e jogos
As normais de uma superfície vêm do produto vetorial, e a relação entre a direção da câmera e uma face vem do produto escalar. Testar os números aqui é mais rápido do que depurar o shader.
Decompor forças e calcular trabalho em física
Trabalho é o produto escalar de força e deslocamento, e torque é o produto vetorial do vetor posição pela força. Os vetores unitários servem quando só a direção importa.
Medir o quanto duas direções coincidem
O produto escalar de dois vetores unitários é exatamente cos θ. A similaridade do cosseno usada em aprendizado de máquina é esse mesmo cálculo com outro nome.
Termos de cálculo vetorial
- Produto escalar
- A soma dos produtos das componentes correspondentes. O resultado é um escalar e, como a·b = |a||b|cos θ, um valor zero significa que os vetores são perpendiculares.
- Produto vetorial
- Operação definida apenas em três dimensões cujo resultado é um vetor perpendicular aos dois de partida. Seu módulo é a área do paralelogramo que ambos formam e seu sentido segue a regra da mão direita.
- Módulo (norma)
- O comprimento de um vetor, dado por √(x² + y² + z²). É o teorema de Pitágoras levado a três dimensões.
- Vetor unitário
- Vetor redimensionado para comprimento 1, útil quando se quer manter a direção e descartar o tamanho. Obtém-se dividindo cada componente pelo módulo.
- Ângulo entre vetores
- O ângulo que separa dois vetores, sempre entre 0° e 180°. Resulta de dividir o produto escalar pelo produto dos módulos e tomar o arco cosseno.
- Vetor nulo
- Aquele cujas componentes são todas zero. Tem comprimento nulo e nenhuma direção, portanto não admite vetor unitário nem ângulo.
Perguntas frequentes
Curiosidade — Os vetores nasceram dos quatérnios de Hamilton
A notação vetorial que usamos hoje remonta aos "quatérnios", um sistema inventado pelo matemático irlandês do século XIX William Rowan Hamilton para representar rotações em três dimensões. Um quatérnio consiste em quatro números, e foram os três componentes da sua "parte imaginária" que acabaram se tornando o protótipo do vetor moderno.
Foram o físico americano Josiah Willard Gibbs e o engenheiro britânico Oliver Heaviside que separaram os vetores dos quatérnios e os organizaram no produto escalar e no produto vetorial que usamos hoje. Trabalhando de forma independente no final do século XIX, eles retiraram as partes da álgebra de quatérnios que não eram necessárias para a física — especialmente o eletromagnetismo — e construíram o arcabouço da análise vetorial ainda ensinado hoje.
O produto vetorial geralmente só é definido para vetores 3D porque um espaço tridimensional é o único adequado para determinar de forma única uma direção perpendicular a dois vetores dados. Graças a essa propriedade, o produto vetorial aparece constantemente na física — no torque e no momento angular — bem como em computação gráfica, onde é usado para calcular o vetor normal de uma superfície.