数学
等比数列计算器（aₙ = a₁·rⁿ⁻¹）
输入首项 a₁ 和公比 r，自动计算等比数列的通项、前 n 项和以及无穷等比级数（|r|<1 时）。含项数表格和条形图可视化。
提示
- 公比 r > 1 时数列急剧增长，0 < r < 1 时趋向 0，r < 0 时各项符号交替变化（振荡数列）。
- 当 |r| < 1 时，无穷项之和收敛到 S∞ = a₁ / (1 − r)。例如 a₁=1、r=1/2 时，S∞ = 2。
- 第 n 项为 aₙ = a₁ · r^(n−1)，前 n 项和为 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1 时）。
- 图表以条形显示各项。公比较大时条形急剧增高，建议使用 r = 1.1～1.5 左右的值来直观感受增长趋势。
常见问题
仅当 |r| < 1 时，S∞ = a₁ / (1 − r) 收敛为有限值。|r| ≥ 1 时，各项不会足够快地趋向 0，级数发散（趋向无穷或振荡）。
公比为负（例如 r = −2）时，各项符号交替变化，形成振荡数列。例如 a₁=1、r=−2 时，数列为 1, −2, 4, −8, 16, …
设 S = a₁ + a₁r + … + a₁r^(n−1)，两边乘以 r 得 rS = a₁r + … + a₁rⁿ，相减得 S − rS = a₁ − a₁rⁿ，即 S(1−r) = a₁(1−rⁿ)，因此 Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)。
闲话 ― 无穷等比级数与折纸世界纪录
「将一张纸不断对折，折多少次能到达月球」这个经典问题可以用等比数列来解释。厚度 0.1 mm 的纸折叠 n 次后厚度为 0.1 × 2ⁿ mm。月球距地球约 384,400 km ≈ 3.844 × 10¹¹ mm，因此理论上 折叠 42 次即可到达月球（2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²）。
实际上，由于纸张的刚性和摩擦，普通纸张最多只能折叠约 7～8 次。2012 年，高中生 Britney Gallivan 使用特制长纸创造了折叠 12 次的世界纪录。等比数列的威力正体现在这类「看似不可能但数学上完全正确」的计算中。