数学
质因数分解计算器（2至1,000,000）
立即将任意整数 N（2〜1,000,000）分解为质因数。显示逐步除法过程、因数列表、因数个数及因数和。附1〜100质因数分解速查表。
1〜100 质因数分解速查表
列出1至100每个整数的质因数分解。质数以绿色标签显示。
| N | 质因数分解 | 质数？ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 2 | 质数 |
| 3 | 3 | 质数 |
| 4 | 2² | — |
| 5 | 5 | 质数 |
| 6 | 2 × 3 | — |
| 7 | 7 | 质数 |
| 8 | 2³ | — |
| 9 | 3² | — |
| 10 | 2 × 5 | — |
| 11 | 11 | 质数 |
| 12 | 2² × 3 | — |
| 13 | 13 | 质数 |
| 14 | 2 × 7 | — |
| 15 | 3 × 5 | — |
| 16 | 2⁴ | — |
| 17 | 17 | 质数 |
| 18 | 2 × 3² | — |
| 19 | 19 | 质数 |
| 20 | 2² × 5 | — |
| 21 | 3 × 7 | — |
| 22 | 2 × 11 | — |
| 23 | 23 | 质数 |
| 24 | 2³ × 3 | — |
| 25 | 5² | — |
| 26 | 2 × 13 | — |
| 27 | 3³ | — |
| 28 | 2² × 7 | — |
| 29 | 29 | 质数 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | — |
| 31 | 31 | 质数 |
| 32 | 2⁵ | — |
| 33 | 3 × 11 | — |
| 34 | 2 × 17 | — |
| 35 | 5 × 7 | — |
| 36 | 2² × 3² | — |
| 37 | 37 | 质数 |
| 38 | 2 × 19 | — |
| 39 | 3 × 13 | — |
| 40 | 2³ × 5 | — |
| 41 | 41 | 质数 |
| 42 | 2 × 3 × 7 | — |
| 43 | 43 | 质数 |
| 44 | 2² × 11 | — |
| 45 | 3² × 5 | — |
| 46 | 2 × 23 | — |
| 47 | 47 | 质数 |
| 48 | 2⁴ × 3 | — |
| 49 | 7² | — |
| 50 | 2 × 5² | — |
| 51 | 3 × 17 | — |
| 52 | 2² × 13 | — |
| 53 | 53 | 质数 |
| 54 | 2 × 3³ | — |
| 55 | 5 × 11 | — |
| 56 | 2³ × 7 | — |
| 57 | 3 × 19 | — |
| 58 | 2 × 29 | — |
| 59 | 59 | 质数 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | — |
| 61 | 61 | 质数 |
| 62 | 2 × 31 | — |
| 63 | 3² × 7 | — |
| 64 | 2⁶ | — |
| 65 | 5 × 13 | — |
| 66 | 2 × 3 × 11 | — |
| 67 | 67 | 质数 |
| 68 | 2² × 17 | — |
| 69 | 3 × 23 | — |
| 70 | 2 × 5 × 7 | — |
| 71 | 71 | 质数 |
| 72 | 2³ × 3² | — |
| 73 | 73 | 质数 |
| 74 | 2 × 37 | — |
| 75 | 3 × 5² | — |
| 76 | 2² × 19 | — |
| 77 | 7 × 11 | — |
| 78 | 2 × 3 × 13 | — |
| 79 | 79 | 质数 |
| 80 | 2⁴ × 5 | — |
| 81 | 3⁴ | — |
| 82 | 2 × 41 | — |
| 83 | 83 | 质数 |
| 84 | 2² × 3 × 7 | — |
| 85 | 5 × 17 | — |
| 86 | 2 × 43 | — |
| 87 | 3 × 29 | — |
| 88 | 2³ × 11 | — |
| 89 | 89 | 质数 |
| 90 | 2 × 3² × 5 | — |
| 91 | 7 × 13 | — |
| 92 | 2² × 23 | — |
| 93 | 3 × 31 | — |
| 94 | 2 × 47 | — |
| 95 | 5 × 19 | — |
| 96 | 2⁵ × 3 | — |
| 97 | 97 | 质数 |
| 98 | 2 × 7² | — |
| 99 | 3² × 11 | — |
| 100 | 2² × 5² | — |
提示
- 质因数分解是将整数 N 表示为质数之积。例如：360 = 2³ × 3² × 5。算术基本定理保证此表示方式（忽略顺序）是唯一的。
- 由质因数分解可以直接得出因数个数。若 N = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …，则因数个数 = (e₁+1)(e₂+1)…。例如：12 = 2² × 3 → (2+1)(1+1) = 6 个因数。
- 因数之和 σ(N) = (1+p₁+…+p₁^e₁)(1+p₂+…+p₂^e₂)…。例如：12 → (1+2+4)(1+3) = 7 × 4 = 28。
- 最简单的分解算法是试除法：从 2 开始依次除到 √N。对于 N ≤ 1,000,000，最多只需 1000 次除法，可实时完成。
常见问题
是的——这就是算术基本定理。每个大于 1 的整数都有唯一的质因数分解（忽略顺序）。例如，12 = 2² × 3 是将 12 写成质数之积的唯一方式。
若 N = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …，则每个因数由选择各质因数 pᵢ 的 0 到 eᵢ 个组成。p₁ 有 (e₁+1) 种选法，p₂ 有 (e₂+1) 种……因此共有 (e₁+1)(e₂+1)… 个因数。
完全数等于其真因数（除自身外的所有因数）之和。最小的完全数是 6（1+2+3=6），其次是 28（1+2+4+7+14=28）。完全数是否有无穷多个至今仍是数学未解之谜。
闲话 ― RSA 加密与质因数分解的难度
保护 HTTPS 通信和数字签名的 RSA 加密建立在"大数质因数分解非常困难"这一事实之上。将两个大质数相乘（各约 1024 位）只需毫秒，但将乘积分解回两个质因数在现有技术下是计算上不可行的。
2048 位的 RSA 模数用目前已知的最佳经典算法分解所需时间将超过宇宙年龄。这种"乘法容易、分解困难"的非对称性是公钥密码学的数学基础。量子计算机（Shor 算法）将打破 RSA，这也是后量子密码学成为活跃研究领域的原因。