수학
쌍곡선 그래프 (x²/a² − y²/b² = 1)
a와 b를 입력하여 쌍곡선 x²/a² − y²/b² = 1을 그립니다. 이심률, 초점, 꼭짓점, 점근선을 자동으로 계산합니다.
도움말
- 쌍곡선 x²/a² − y²/b² = 1은 두 개의 분리된 가지로 이루어져 있습니다. 오른쪽 가지는 x ≥ a인 영역에, 왼쪽 가지는 x ≤ −a인 영역에 존재합니다.
- 점근선 y = ±(b/a)x는 쌍곡선이 무한히 접근하지만 결코 닿지 않는 직선입니다. 그래프에서 회색 점선으로 표시됩니다.
- 이심률 e = √(1 + b²/a²)은 항상 1보다 큽니다. e가 클수록 쌍곡선은 더 넓게 벌어집니다.
- 초점은 (±c, 0)이며, c = √(a² + b²)입니다. 그래프에서 주황색 마름모로 표시됩니다.
자주 묻는 질문
방정식 x²/a² − y²/b² = 1은 |x| ≥ a를 요구하므로 x = 0 근방에는 점이 존재하지 않습니다. 따라서 곡선은 오른쪽 가지(x ≥ a)와 왼쪽 가지(x ≤ −a)로 나뉩니다.
점근선은 x → ±∞일 때 쌍곡선이 한없이 접근하는 직선 y = ±(b/a)x입니다. 곡선은 실제로 점근선에 닿지는 않지만 임의로 가까워집니다.
타원은 두 초점까지의 거리 합이 일정하고, 쌍곡선은 거리 차이가 일정합니다. 타원의 이심률은 0 < e < 1이고, 쌍곡선의 이심률은 e > 1입니다.
여담 ― 쌍곡선과 항법
쌍곡선은 두 고정 초점까지의 거리 차이가 일정한 점들의 집합으로 정의됩니다. 이 성질은 20세기 항법 시스템 LORAN(Long Range Navigation)에 응용되었습니다. 선박은 두 해안 기지국의 전파 도달 시간 차이를 측정하여 쌍곡선 위의 위치를 파악했습니다.
쌍곡면(쌍곡선을 회전시킨 곡면)은 천체망원경에도 사용됩니다. 카세그레인 망원경에서는 볼록한 쌍곡면 부경이 주경의 구멍을 통해 빛을 반사하여 초점을 망원경 몸체 뒤쪽으로 위치시킵니다.