Mathematik
Hyperbelgraph (x²/a² − y²/b² = 1)
Gib a und b ein, um die Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 zu zeichnen. Exzentrizität, Brennpunkte, Scheitelpunkte und Asymptoten werden automatisch berechnet.
Tipps
- Die Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 besteht aus zwei getrennten Ästen. Der rechte Ast existiert für x ≥ a und der linke für x ≤ −a.
- Die Asymptoten y = ±(b/a)x sind Geraden, denen sich die Hyperbel annähert, sie aber nie berührt. Im Graphen werden sie als graue gestrichelte Linien dargestellt.
- Die Exzentrizität e = √(1 + b²/a²) ist stets größer als 1. Größere e-Werte erzeugen stärker „geöffnete" Hyperbeln.
- Die Brennpunkte liegen bei (±c, 0), wobei c = √(a² + b²). Im Graphen erscheinen sie als orangefarbene Rauten.
Häufig gestellte Fragen
Die Gleichung x²/a² − y²/b² = 1 erfordert |x| ≥ a, weshalb es keine Punkte nahe x = 0 gibt. Die Kurve teilt sich in einen rechten Ast (x ≥ a) und einen linken Ast (x ≤ −a).
Asymptoten sind die Geraden y = ±(b/a)x, denen sich die Hyperbel für x → ±∞ annähert. Die Kurve berührt sie nie, kommt ihnen aber beliebig nahe.
Eine Ellipse ist durch die konstante Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten definiert; eine Hyperbel durch die Differenz. Eine Ellipse hat die Exzentrizität 0 < e < 1; eine Hyperbel hat e > 1.
Übrigens – Hyperbeln und Navigation
Eine Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, bei denen die Differenz der Abstände zu zwei festen Brennpunkten konstant ist. Diese Eigenschaft nutzte das LORAN-Navigationsystem (Long Range Navigation) im 20. Jahrhundert: Schiffe bestimmten ihren Standort anhand der Zeitdifferenz zwischen Funksignalen zweier Küstenstationen.
Hyperbolische Spiegel kommen in Cassegrain-Teleskopen zum Einsatz, wo ein konvexer hyperbolischer Sekundärspiegel das Licht durch eine Öffnung im Primärspiegel reflektiert und den Brennpunkt hinter den Teleskopkörper verlegt.