Calculatrice de nombres figurés (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux)
Calculez les nombres triangulaires, carrés, pentagonaux et hexagonaux du 1er au Nième terme et comparez-les sur un graphique. Calculez instantanément la valeur de n'importe quel terme n. Comprend un tableau de référence pour les termes 1 à 15.
Tableau de référence pour les termes 1 à 15 (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux)
Un tableau listant les valeurs des quatre types de nombres figurés du 1er au 15e terme.
| n | Nombres triangulaires | Nombres carrés | Nombres pentagonaux | Nombres hexagonaux |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
Ce que sont les nombres figurés
Un nombre figuré compte les points lorsqu'on les dispose régulièrement en un polygone. Rangés en triangle, on obtient les nombres triangulaires 1, 3, 6, 10 et ainsi de suite ; en carré, les carrés 1, 4, 9, 16 ; en pentagone, les pentagonaux 1, 5, 12, 22. **Les nombres carrés coïncident avec les carrés parfaits** parce que des points disposés en carré font exactement n × n : exemple limpide de géométrie et d'algèbre se rejoignant sans détour.
Chaque famille possède une forme close toute simple : n(n+1)/2 pour les triangulaires, n² pour les carrés, n(3n−1)/2 pour les pentagonaux et n(2n−1) pour les hexagonaux. On connaît aussi des relations entre elles : **deux nombres triangulaires consécutifs s'additionnent en un nombre carré**, et **les hexagonaux coïncident avec les triangulaires d'indice impair.** Voir surgir ces liens inattendus fait une bonne part de l'intérêt. Cet outil calcule du premier terme jusqu'au n-ième et les compare sur un graphique ; il peut aussi donner un terme isolé.
Comment calculer des nombres figurés
- Choisissez la famille Sélectionnez triangulaires, carrés, pentagonaux ou hexagonaux.
- Indiquez le nombre de termes à afficher Du premier au n-ième, ils apparaissent en liste et en graphique.
- Comparez la croissance sur le graphique On voit d'emblée que plus le polygone a de côtés, plus la suite grimpe vite.
- Obtenez un terme isolé Pour un grand n, vous pouvez demander la seule valeur de ce terme.
Astuces pour en tirer le meilleur parti
- Les nombres triangulaires T(n) = n(n+1)/2 comptent le nombre total de points lorsqu'ils sont empilés en triangle équilatéral. La disposition classique des quilles de bowling (10 quilles) correspond au nombre triangulaire T(4) = 10.
- Les nombres carrés S(n) = n² comptent le nombre total de points disposés en carré. Ils sont également connus pour la propriété selon laquelle la somme de nombres impairs consécutifs donne un nombre carré (1, 1+3=4, 1+3+5=9, ...).
- Les nombres pentagonaux P(n) = n(3n-1)/2 et les nombres hexagonaux H(n) = n(2n-1) comptent respectivement les points disposés en pentagone et en hexagone réguliers. Tout nombre hexagonal est aussi un nombre triangulaire (H(n) = T(2n-1)).
- Le graphique permet de comparer la vitesse de croissance des quatre types. Pour un même n, les formes ayant plus de sommets (3, 4, 5, 6) tendent à produire des valeurs plus grandes.
- Cet outil prend en charge les calculs jusqu'au 1000e terme. Les valeurs croissant rapidement pour les grands n, l'affichage du graphique et du tableau est limité à 1-30 termes pour la lisibilité.
Dans quels cas cela sert
Étudier les suites
Confrontez la dérivation d'une forme close aux valeurs réelles pour confirmer ce que la formule signifie.
Vérifier des relations entre suites
Contrôlez chiffres en main que deux triangulaires consécutifs font bien un carré.
Exercices de programmation
Comparez aux valeurs exactes une fonction que vous avez écrite pour produire des nombres figurés.
Préparer énigmes et mathématiques de compétition
Les nombres figurés reviennent souvent en théorie des nombres, et une table de valeurs aide à repérer le motif.
Les termes des nombres figurés
- Nombre triangulaire
- Le compte des points disposés en triangle, de forme close n(n+1)/2. **Il égale la somme des entiers de un à n.**
- Nombre carré
- Le compte des points disposés en carré, soit n².
- Nombre pentagonal
- Le compte des points disposés en pentagone régulier, soit n(3n−1)/2.
- Nombre hexagonal
- Le compte des points disposés en hexagone régulier, soit n(2n−1). **Ils coïncident avec les triangulaires d'indice impair.**
- Forme close
- Une expression donnant le n-ième terme d'une suite en fonction de n. Toute famille de nombres figurés en possède une simple.
- Théorème des nombres polygonaux
- Le résultat selon lequel tout entier naturel est somme d'au plus trois triangulaires, quatre carrés ou cinq pentagonaux.
Questions fréquentes
Anecdote — Les pythagoriciens et le « mystère des nombres » découvert dans les nombres figurés
L'étude des nombres figurés (polygonaux) remonte à l'école pythagoricienne de la Grèce antique, vers le VIe siècle av. J.-C. Guidés par la conviction que « tout est nombre », ils disposaient des cailloux selon des formes géométriques pour comprendre visuellement les propriétés des nombres. Les noms mêmes de « nombres triangulaires » et « carrés » viennent des formes que prennent les points une fois disposés.
Il existe une belle relation entre nombres triangulaires et nombres carrés : la somme de deux nombres triangulaires consécutifs donne toujours un nombre carré (par exemple, T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²). Cela devient intuitif lorsqu'on dessine réellement la disposition des points. Ce type de démonstration géométrique a fortement influencé le développement ultérieur de la théorie des nombres.
Les nombres figurés restent un sujet d'étude actif en mathématiques modernes : la propriété selon laquelle « tout nombre hexagonal est aussi triangulaire », ou la recherche de nombres satisfaisant plusieurs définitions de nombres figurés à la fois, sont encore aujourd'hui des exercices appréciés en théorie des nombres. Il est remarquable que de nombreuses propriétés découvertes par les pythagoriciens il y a 2500 ans, en disposant des cailloux à la main sans papier ni calcul écrit, restent valables comme théorèmes de nos jours.