向量计算器（点积・叉积・模长・单位向量・夹角）
输入两个二维或三维向量，即可自动计算点积（内积）、叉积（外积）、模长（范数）、单位向量以及两向量之间的夹角，免费向量计算工具。
小贴士
- 可通过标签页切换二维、三维。选择三维后会显示z分量的输入框以及叉积的计算结果。
- 当点积为0时，两个向量正交（垂直）。点积为正表示夹角为锐角，为负表示夹角为钝角。
- 叉积结果向量的方向同时垂直于输入的两个向量（遵循右手定则）。
- 单位向量是原向量除以其模长（范数）后得到的向量，长度恰好为1，只表示方向。当只关心方向而不关心大小时可以使用。
- 输入零向量（所有分量均为0）时，其模长为0，因此无法计算单位向量与夹角。
常见问题
点积（内积）由两个向量计算得到一个数（标量），常用于衡量向量的相似度或计算夹角。叉积（外积）由两个向量计算得到一个新的向量，该向量同时垂直于原来的两个向量，且仅在三维空间中有定义。
只有在三维空间中，才能唯一确定同时垂直于两个给定向量的方向。在二维空间中无法确定这样的垂直方向，而在四维及以上空间中这样的方向有无数个，因此一般意义上的叉积只在三维空间中才能自然地定义。
可以使用公式 cosθ = (a·b) / (|a||b|)。将点积除以两个向量模长的乘积即可得到cosθ，再对其取反余弦（arccos），就能求出以角度制或弧度制表示的夹角θ。
单位向量是与原向量方向相同、但模长（长度）恰好为1的向量。将向量除以其模长即可得到单位向量，常用于计算机图形学中的法向量，或物理学中只需表示方向的场合。
计算两向量的点积，若结果为0，则两向量正交（垂直）。本工具会自动计算输入向量的点积，因此只需查看该数值是否为0即可判断。
闲话 ― 向量诞生于哈密顿的四元数
我们如今使用的"向量"概念与记法，源自19世纪爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿发明的"四元数"。哈密顿为了表示三维空间中的旋转而发明了由四个数构成的四元数，其中"纯虚部"的三个分量后来成为了向量的雏形。
将向量从四元数中独立出来，整理为如今的点积与叉积形式的，是美国物理学家约西亚·威拉德·吉布斯与英国工程师奥利弗·亥维赛。19世纪末，为了简化物理学（尤其是电磁学）中的计算，他们从四元数复杂的运算规则中提取出必要的部分，建立起了如今的向量分析体系。
叉积之所以通常只在三维向量中有定义，是因为只有在三维空间中，才能唯一确定同时垂直于两个给定向量的方向。正因为这一特性，叉积被广泛应用于物理学中的力矩、角动量计算，以及计算机图形学中曲面法向量的计算等诸多领域。