向量计算器（点积・叉积・模长・单位向量・夹角）
输入两个二维或三维向量，即可自动计算点积（内积）、叉积（外积）、模长（范数）、单位向量以及两向量之间的夹角，免费向量计算工具。
向量计算器能做什么
只要输入两个向量的分量，本工具就会一次性给出点积（内积）、叉积（外积）、各自的模长、单位向量以及两向量的夹角。可在二维与三维之间切换；选择二维时叉积一栏为空，因为叉积只在三维中有定义。有时被称作「二维叉积」的 ax·by − ay·bx 其实是标量，只是三维叉积的 z 分量，并不是向量。
全部计算都归结为分量的四则运算加上开方与反余弦。点积为 a·b = axbx + ayby + azbz，模长为 √(x² + y² + z²)，单位向量是各分量除以模长，夹角则由 cos θ = a·b ÷（|a||b|）取反余弦得到。零向量没有方向，因此无法构成单位向量，也无法求夹角；此时工具会给出错误提示，而不是返回一个会误导人的数值。
向量计算器的使用方法
- 选择维度 先决定使用二维还是三维。选择三维后会出现 z 分量的输入框，并启用叉积计算。
- 输入向量 a 与 b 的分量 填写 x、y（三维时还有 z）各分量。负数与小数都可以直接使用。
- 读取结果 点积、叉积、模长、单位向量与夹角会同时显示。二维时叉积栏会说明该运算需要三维。
- 用图形确认方向 二维时会绘制向量图。仅凭数值不易判断的方向与角度关系，可以直接用眼睛确认。
用好本工具的小技巧
- 可通过标签页切换二维、三维。选择三维后会显示z分量的输入框以及叉积的计算结果。
- 当点积为0时，两个向量正交（垂直）。点积为正表示夹角为锐角，为负表示夹角为钝角。
- 叉积结果向量的方向同时垂直于输入的两个向量（遵循右手定则）。
- 单位向量是原向量除以其模长（范数）后得到的向量，长度恰好为1，只表示方向。当只关心方向而不关心大小时可以使用。
- 输入零向量（所有分量均为0）时，其模长为0，因此无法计算单位向量与夹角。
需要向量运算的场景
核对高中、大学的习题答案
点积与夹角只要一处符号或除法出错，答案就会改变。用机器核对可以在几秒内发现问题。
三维图形与游戏开发中的坐标计算
求面的法线要用叉积，判断视线与面朝向的关系要用点积。先在这里试数值，比调试着色器快得多。
物理中的力的分解与功的计算
功是力与位移的点积，力矩是位置向量与力的叉积。只关心方向时则使用单位向量。
衡量两个方向的接近程度
两个单位向量的点积恰好等于 cos θ。机器学习中广泛使用的余弦相似度，与这里的计算是同一回事。
向量的相关术语
- 点积（内积）
- 把对应分量相乘后求和所得的值，结果为标量。由于 a·b = |a||b|cos θ 成立，若结果为 0 则表示两向量互相垂直。
- 叉积（外积）
- 仅在三维中有定义的运算，结果是同时垂直于两个输入向量的向量。其模长等于两向量所张平行四边形的面积，方向由右手定则决定。
- 模长（范数）
- 向量的长度，由 √(x² + y² + z²) 求得。可视为勾股定理向三维的推广。
- 单位向量
- 把长度调整为 1 的向量，用于只保留方向而舍去大小的场合。做法是把各分量除以模长。
- 夹角
- 两个向量之间的角度，范围恒在 0° 到 180° 之间。用点积除以两者模长之积，再取反余弦即可得到。
- 零向量
- 所有分量都为 0 的向量。它长度为零且没有方向，因此既无法定义单位向量，也无法定义夹角。
常见问题
闲话 ― 向量诞生于哈密顿的四元数
我们如今使用的"向量"概念与记法，源自19世纪爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿发明的"四元数"。哈密顿为了表示三维空间中的旋转而发明了由四个数构成的四元数，其中"纯虚部"的三个分量后来成为了向量的雏形。
将向量从四元数中独立出来，整理为如今的点积与叉积形式的，是美国物理学家约西亚·威拉德·吉布斯与英国工程师奥利弗·亥维赛。19世纪末，为了简化物理学（尤其是电磁学）中的计算，他们从四元数复杂的运算规则中提取出必要的部分，建立起了如今的向量分析体系。
叉积之所以通常只在三维向量中有定义，是因为只有在三维空间中，才能唯一确定同时垂直于两个给定向量的方向。正因为这一特性，叉积被广泛应用于物理学中的力矩、角动量计算，以及计算机图形学中曲面法向量的计算等诸多领域。