수학
등비수열 계산기 (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹)
첫째항 a₁과 공비 r을 입력하면 일반항, 부분합, 무한등비급수(|r|<1일 때)를 자동으로 계산합니다. 항 목록표와 막대 그래프로 수열을 시각화합니다.
Tips
- 공비 r > 1이면 수열이 빠르게 증가하고, 0 < r < 1이면 0에 수렴하며, r < 0이면 부호가 교대로 바뀌는 진동수열이 됩니다.
- |r| < 1일 때 무한급수의 합이 S∞ = a₁ / (1 − r)에 수렴합니다. 예를 들어 a₁=1, r=1/2이면 S∞ = 2입니다.
- 일반항은 aₙ = a₁ · r^(n−1), 부분합은 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1일 때）입니다.
- 막대 그래프는 각 항을 막대로 표시합니다. 공비가 크면 막대가 급격히 높아지므로 r = 1.1~1.5 정도의 값으로 성장 패턴을 시각적으로 확인하는 것이 좋습니다.
자주 묻는 질문
|r| < 1일 때만 S∞ = a₁ / (1 − r)이 유한한 값에 수렴합니다. |r| ≥ 1이면 항이 충분히 빠르게 감소하지 않아 급수가 발산합니다（무한대 또는 진동）.
공비가 음수（예: r = −2）이면 항의 부호가 교대로 바뀌는 진동수열이 됩니다. 예를 들어 a₁=1, r=−2이면 1, −2, 4, −8, 16, … 이 됩니다.
S = a₁ + a₁r + … + a₁r^(n−1)로 놓고 양변에 r을 곱하면 rS = a₁r + … + a₁rⁿ. 빼면 S − rS = a₁ − a₁rⁿ이 되고, S(1−r) = a₁(1−rⁿ)이므로 Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)이 됩니다.
여담 ― 등비급수와 종이 접기 세계기록
「종이 한 장을 계속 반으로 접으면 몇 번 만에 달에 닿을까」라는 유명한 문제는 등비수열로 설명할 수 있습니다. 두께 0.1 mm인 종이를 n번 접으면 두께는 0.1 × 2ⁿ mm가 됩니다. 달까지의 거리는 약 384,400 km ≈ 3.844 × 10¹¹ mm이므로 이론적으로 42번 접으면 달에 닿는다는 계산이 나옵니다（2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²）.
현실에서는 종이의 강성과 마찰 때문에 일반 종이는 7~8번이 한계입니다. 하지만 2012년 고등학생 Britney Gallivan이 특수 제작된 긴 종이를 사용해 12번 접는 데 성공해 세계기록을 세웠습니다. 등비수열의 위력은 「현실적으로 불가능해 보이지만 수학적으로는 완벽히 옳은」 이런 계산에서 가장 잘 드러납니다.