Mathematik
Geometrische Folge Rechner (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹)
Gib das erste Glied a₁ und den gemeinsamen Quotienten r ein, um das n-te Glied, Partialsummen und die unendliche Summe (wenn |r| < 1) zu berechnen. Mit Tabelle und Balkendiagramm.
Tipps
- Wenn r > 1 wächst die Folge schnell. Wenn 0 < r < 1 nähert sie sich 0. Wenn r < 0 wechseln die Glieder das Vorzeichen (oszillierende Folge).
- Wenn |r| < 1, konvergiert die unendliche Summe zu S∞ = a₁ / (1 − r). Zum Beispiel mit a₁ = 1 und r = 1/2 ergibt sich S∞ = 2.
- Das n-te Glied ist aₙ = a₁ · r^(n−1) und die Partialsumme ist Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r) (wenn r ≠ 1).
- Das Balkendiagramm zeigt jedes Glied als Balken. Bei großem r wachsen die Balken sehr schnell, daher sind r-Werte zwischen 1,1 und 1,5 am besten geeignet, um das Wachstumsmuster zu erkennen.
Häufige Fragen
Übrigens – Geometrisches Wachstum und der Papierfalte-Mythos
Eine klassische Veranschaulichung geometrischen Wachstums: Wenn man ein 0,1 mm dickes Blatt Papier wiederholt halbiert, ist es nach n Faltungen 0,1 × 2ⁿ mm dick. Der Mond ist etwa 384.400 km entfernt — rund 3,844 × 10¹¹ mm — daher würden 42 Faltungen theoretisch den Mond erreichen (2⁴² ≈ 4,4 × 10¹²).
In der Praxis begrenzt die Steifigkeit des Papiers ein normales Blatt auf etwa 7–8 Faltungen. Im Jahr 2012 stellte die Schülerin Britney Gallivan mit einer langen Papierrolle einen Weltrekord auf, indem sie das Papier 12 Mal faltete. Die mathematische Realität bleibt bestehen: Geometrische Folgen wachsen weit über unsere Intuition hinaus – genau wie Zinseszins, Virenausbreitung und Bevölkerungswachstum.