Calcolatore di triangoli | Lati, angoli e area in tempo reale (SSS/SAS/ASA)
Inserisci i tre lati, oppure due lati e un angolo, per ottenere subito e gratis lati, angoli, area, perimetro, raggio circoscritto e inscritto. Verifica anche se il triangolo inserito è valido. Supporta SSS, SAS e ASA.
Che cos'è il calcolo del triangolo
Un triangolo risulta completamente determinato non appena si conoscono tre dei suoi sei elementi (i tre lati e i tre angoli), purché la combinazione scelta sia una di quelle che fissano una forma unica. Questa calcolatrice del triangolo accetta le tre combinazioni classiche — i tre lati, due lati con l'angolo compreso fra loro e un lato con i due angoli adiacenti — e, a partire dai dati inseriti, calcola immediatamente i lati e gli angoli mancanti, oltre ad area, perimetro, raggio della circonferenza circoscritta e raggio della circonferenza inscritta. Indica inoltre se il triangolo è acutangolo, rettangolo oppure ottusangolo, e se è equilatero, isoscele o scaleno.
Lo strumento lavora sempre con triangoli piani. Nella modalità con i tre lati, se si inseriscono tre lunghezze che non rispettano la disuguaglianza triangolare — cioè se la somma di due lati qualsiasi non supera il terzo — comparirà un avviso che segnala come quei valori non formino un triangolo valido, invece di restituire un risultato scorretto. Gli angoli sono sempre espressi in gradi. Le lunghezze dei lati non hanno un'unità di misura fissa: si possono interpretare in centimetri, metri o in qualunque altra unità si preferisca, e la stessa unità si riflette automaticamente sull'area (al quadrato) e sui raggi delle circonferenze (lineare).
Come usare il calcolo del triangolo
- Scegliete il tipo di dati che conoscete Se conoscete i tre lati, scegliete la modalità con i tre lati; se conoscete due lati e l'angolo fra loro compreso, quella con due lati e l'angolo; se conoscete un lato e i due angoli adiacenti, quella con un lato e due angoli.
- Inserite i valori nei campi corrispondenti Selezionata la modalità, compaiono i campi da compilare. Fate attenzione a quale lato o angolo corrisponde a ciascuna etichetta: scambiarne la posizione produce un triangolo diverso da quello che avete in mente.
- Controllate i risultati calcolati Vengono mostrati i lati e gli angoli mancanti, insieme ad area, perimetro, raggio della circonferenza circoscritta e di quella inscritta, oltre alla classificazione del triangolo per angoli e per lati.
- Se compare l'avviso di triangolo inesistente, rivedete i dati Quando lo strumento segnala che i valori non formano un triangolo, verificate anzitutto se qualche combinazione di lati viola la disuguaglianza triangolare, oppure se la somma degli angoli inseriti supera i 180°.
Consigli per sfruttarlo al meglio
- Nella modalità con i tre lati, inserendo valori che non soddisfano la disuguaglianza triangolare — la somma di due lati qualsiasi deve superare il terzo — compare l'avviso che il triangolo non esiste.
- Il riconoscimento del triangolo rettangolo si fonda sul fatto che l'angolo maggiore valga novanta gradi: lo strumento si presta anche a verificare il teorema di Pitagora, per esempio con i lati 3, 4 e 5.
- Il raggio della circonferenza circoscritta si ricava dal teorema dei seni e quello della circonferenza inscritta dividendo l'area per il semiperimetro.
- Le modalità con due lati e l'angolo compreso e con un lato e due angoli tornano comode per verificare i casi, frequenti in topografia e negli esercizi di geometria, in cui si conoscono soltanto due informazioni.
Usi pratici del calcolo del triangolo
Verificare i compiti di matematica o ripassare per un'interrogazione
Dopo aver risolto a mano un esercizio con il teorema del coseno o dei seni, inserite qui gli stessi dati per controllare il risultato e capire in quale passaggio potrebbe essersi nascosto un errore.
Calcolare la superficie di un terreno o di un lotto
Se il terreno si può suddividere in triangoli, basta misurarne i tre lati per ottenere l'area di ciascuno e sommarle. Anche un quadrilatero irregolare si può trattare così, tracciando una diagonale che lo divide in due triangoli.
Ricavare le misure di un pezzo da realizzare
In casi come un rinforzo diagonale per uno scaffale o un elemento angolare, dove si conoscono soltanto due lati e l'angolo fra loro compreso, si può calcolare la lunghezza esatta del terzo lato prima di tagliare il materiale.
Verificare se una struttura forma davvero un angolo retto
Misurando i tre lati di un telaio o di una squadra già montati e controllando se l'angolo maggiore risulta di 90°, si può confermare con un numero se la costruzione è realmente perpendicolare.
Progettare capriate e strutture triangolari
Nella falegnameria o in piccoli lavori di costruzione, conoscere con precisione angoli e lati di ogni triangolo di un'incastellatura aiuta i pezzi a combaciare senza giochi né tensioni indesiderate.
Termini legati al calcolo del triangolo
- Disuguaglianza triangolare
- Condizione secondo cui la somma delle lunghezze di due lati qualsiasi di un triangolo deve superare quella del terzo lato. Se tre lunghezze non rispettano questa condizione, con esse non si può tracciare alcun triangolo su un piano.
- Teorema del coseno
- Formula che lega i tre lati di un triangolo a uno dei suoi angoli (cos A = (b² + c² − a²) / 2bc). Serve sia per ricavare gli angoli a partire dai tre lati, sia per trovare il lato mancante quando si conoscono due lati e l'angolo compreso.
- Teorema dei seni
- Relazione secondo cui il rapporto fra la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo opposto è costante per i tre lati di un triangolo. Da questa stessa proporzione si ricava anche il raggio della circonferenza circoscritta.
- Circonferenza circoscritta
- Circonferenza che passa per i tre vertici del triangolo. Il suo centro si trova nel punto in cui si incontrano gli assi (le mediane perpendicolari) dei tre lati, e il suo raggio prende appunto il nome di raggio della circonferenza circoscritta.
- Circonferenza inscritta
- Circonferenza tangente internamente ai tre lati del triangolo. Il suo raggio si ottiene dividendo l'area del triangolo per il semiperimetro.
- Angolo compreso
- Angolo posto esattamente fra i due lati indicati. Nella modalità con due lati e l'angolo è fondamentale individuare correttamente quale sia questo angolo, perché confonderne la posizione produce un triangolo diverso.
Domande frequenti
A proposito — perché il triangolo è determinato da tre soli dati
I criteri di congruenza dei triangoli che si imparano a scuola — tre lati, due lati e l'angolo compreso, un lato e i due angoli adiacenti — esprimono in realtà la quantità minima d'informazione necessaria a determinare univocamente un triangolo. Per fissare la posizione di tre vertici occorrerebbero sei gradi di libertà, cioè le due coordinate di ciascun punto, ma togliendo i tre gradi corrispondenti a traslazione, rotazione e riflessione ne restano tre: bastano dunque tre informazioni indipendenti fra lati e angoli. I criteri citati sono le combinazioni tipiche di quei tre dati.
La combinazione di due lati e di un angolo che non sia quello compreso, invece, non determina sempre un triangolo unico. Somiglia al criterio con l'angolo compreso ed è per questo insidiosa: in certe condizioni esistono due triangoli distinti, il cosiddetto caso ambiguo, uno dei tranelli classici degli esercizi sul teorema dei seni.
Anche i concetti di circonferenza circoscritta e inscritta discendono dal fatto che tre dati bastano a determinare il triangolo. Per tre punti non allineati passa sempre una e una sola circonferenza, il cui centro si costruisce come intersezione degli assi dei lati. Questa proprietà è anche il fondamento teorico della triangolazione, con cui i topografi, prima del posizionamento satellitare, ricavavano la posizione di un punto ignoto da due punti noti e dagli angoli osservati.