三角形の計算（辺・角度・面積）

3辺（SSS）・2辺と挟角（SAS）・1辺と隣接する2角（ASA）のいずれかを入力すると、残りの辺・角度・面積・周長・外接円半径・内接円半径を計算し、三角形の分類も表示します。

三角形の計算とは

三角形は、辺と角のうち3つが分かれば形が一つに決まります。このツールは、その3つの与え方として代表的なSSS（3辺）・SAS（2辺と挟む角）・ASA（1辺と両端の角）に対応し、残りの辺と角に加えて面積・周長・外接円と内接円の半径までまとめて求めます。あわせて、鋭角・直角・鈍角の別と、正三角形・二等辺三角形・不等辺三角形の別も判定します。

扱うのは平面上の三角形です。SSSモードでは、どの2辺の和も残りの1辺より大きいという条件を満たさない値を入れると成立しない旨が表示されます。角度の単位は度で、辺の長さの単位は指定しません。入力した長さの単位がそのまま面積や半径の単位に引き継がれます。

三角形の計算の使い方

分かっている情報の型を選ぶ 3辺が分かるならSSS、2辺とその間の角ならSAS、1辺とその両端の角ならASAを選びます。
値を入力する選んだ型に応じた欄が表示されます。角の位置を取り違えると別の三角形になるため、ラベルを確認しながら入力してください。
結果を確認する残りの辺と角、面積、周長、外接円と内接円の半径が表示されます。三角形の分類もあわせて出ます。
成立しない場合は値を見直す「三角形が成立しません」と出たときは、辺の長さの組み合わせか、角の合計が180度を超えていないかを確認してください。

使いこなすためのヒント

SSS（3辺）モードでは、三角不等式（どの2辺の和も残り1辺より大きい）を満たさない値を入力すると「三角形が成立しません」と表示されます。
直角三角形かどうかは最大角が90度かどうかで判定しています。三平方の定理（3-4-5等）の確認にも使えます。
外接円の半径は正弦定理 a / (2 sinA) から、内接円の半径は面積 ÷ 半周長から算出しています。
SAS・ASAモードは、測量や図形問題で「2つの情報だけ分かっている」ケースの検算に便利です。

三角形の計算の活用シーン

数学の宿題や試験勉強の検算

余弦定理や正弦定理で手計算した答えを、同じ条件を入力して照らし合わせられます。どこで間違えたかを絞り込む助けになります。

土地や敷地の面積を出す

三角形に区切れる土地なら、実測した3辺の長さから面積を求められます。四角形も対角線で2つの三角形に分けて計算できます。

製作物の寸法を割り出す

棚の筋交いや斜めの部材など、2辺と角度だけが決まっている場面で、残りの1辺の長さを求めてから材料を切り出せます。

直角が出ているかを確かめる

3辺の長さを入力して最大角が90度になるかを見れば、組んだ枠が直角かどうかを数値で確認できます。

三角形の計算に関する用語

三角不等式: どの2辺の長さの和も残りの1辺より大きい、という条件です。これを満たさない3つの長さでは平面上に三角形を描けません。
余弦定理: 3辺の長さから角の大きさを求める式です。2辺と挟む角から残りの1辺を求めるときにも使います。
正弦定理: 辺の長さとその対角の正弦の比が一定になるという関係です。外接円の半径もこの式から求められます。
外接円: 三角形の3つの頂点すべてを通る円です。中心は各辺の垂直二等分線が交わる点にあります。
内接円: 三角形の3辺すべてに接する円です。半径は面積を周長の半分で割って求められます。
挟角: 指定した2つの辺に挟まれた角のことです。SASではこの角を使うため、位置を取り違えると別の三角形になります。

よくある質問

余弦定理（cos A = (b²+c²−a²) / 2bc）を使います。本ツールの「3辺（SSS）」モードに3辺の長さを入力すると、3つの角度を自動的に計算します。

三角形が成立するには、どの2辺の長さの合計も残りの1辺より大きい必要があります（三角不等式）。この条件を満たさない値（例: 1, 1, 10）を入力すると、平面上に三角形を描けないため計算できません。

外接円の半径は3頂点を通る円、内接円の半径は3辺すべてに接する円の大きさです。建築・製図で三角形の部材を円形の枠に収める設計をする際や、幾何の証明問題でよく使われます。

はい。2辺とその間の角度が分かれば、余弦定理によって残りの1辺の長さが一意に決まり、三角形の形状が完全に確定します（合同条件の1つ）。

余談ですが ― なぜ三角形はSSS・SAS・ASAで「決まる」のか

中学校の数学で習う「三角形の合同条件」（3辺・2辺+挟角・1辺+両端の角）は、実は「三角形が一意に決まるための最小限の情報量」を表しています。3つの頂点の位置を決めるには本来6つの自由度（各頂点のx・y座標）が必要ですが、平行移動・回転・鏡像の3つの自由度を除くと、実質的に3つの独立した情報（辺や角の組み合わせ）があれば形が確定します。SSS・SAS・ASAはこの「3つの情報」の代表的な組み合わせです。

一方で「2角+その他1辺ではない辺（挟角でない角）」（SSAやASSと呼ばれる条件）は一意に決まらないことがあります。これは「二辺挟角の合同条件」に似ていて紛らわしいものの、条件によって三角形が2種類存在してしまう「エッジケース」（曖昧な場合、ambiguous caseと呼ばれる）が生じるためで、高校数学の正弦定理の単元でよく出題される罠のひとつです。

外接円・内接円という概念も、三角形の「3つの情報」から一意に導けることの応用例です。3点を通る円は幾何学的に必ず1つに定まり（3点が一直線上にない限り）、その中心は各辺の垂直二等分線の交点として作図できます。この性質は、GPSを使わない時代の測量士たちが、既知の2点と観測した角度だけから未知の1点の位置を求める「三角測量」の理論的な基盤にもなっていました。

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