Dreiecksrechner (Seiten, Winkel, Fläche)

Geben Sie drei Seiten (SSS), zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) oder eine Seite mit ihren beiden anliegenden Winkeln (WSW) ein, um die restlichen Seiten, Winkel, die Fläche, den Umfang, den Umkreis- und den Inkreisradius zu berechnen – inklusive Klassifikation des Dreiecks.

Tipps

  • Im SSS-Modus zeigt das Tool „kein gültiges Dreieck“, wenn die Werte die Dreiecksungleichung verletzen (die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte sein).
  • Ob ein Dreieck rechtwinklig ist, wird geprüft, indem der größte Winkel auf 90° kontrolliert wird – praktisch auch zur Prüfung pythagoreischer Tripel wie 3-4-5.
  • Der Umkreisradius ergibt sich aus dem Sinussatz (a / (2 sin A)); der Inkreisradius aus der Fläche geteilt durch den halben Umfang.
  • Die Modi SWS und WSW sind praktisch, um Vermessungs- oder Geometrieaufgaben zu überprüfen, bei denen nur zwei Angaben bekannt sind.

Häufig gestellte Fragen

Mit dem Kosinussatz: cos A = (b² + c² − a²) / 2bc. Geben Sie die drei Seitenlängen im Modus „Drei Seiten (SSS)“ ein, und das Tool berechnet automatisch alle drei Winkel.

Damit ein Dreieck existiert, muss die Summe zweier beliebiger Seiten größer sein als die dritte (Dreiecksungleichung). Werte, die dies verletzen, etwa 1, 1, 10, lassen sich in der Ebene nicht zu einem Dreieck formen, sodass keine Berechnung möglich ist.

Der Umkreisradius ist der Radius des Kreises durch alle drei Eckpunkte, der Inkreisradius der des Kreises, der alle drei Seiten berührt. Beide kommen im Bauwesen und technischen Zeichnen vor, wenn dreieckige Teile in runde Rahmen eingepasst werden, sowie häufig bei geometrischen Beweisen.

Ja. Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, bestimmt der Kosinussatz die dritte Seite eindeutig und legt damit die Form des Dreiecks vollständig fest – eines der Standard-Kongruenzkriterien für Dreiecke.
ツールくん

Übrigens – Warum SSS, SWS und WSW genügen, um ein Dreieck „festzulegen“

Die in der Schule gelehrten Kongruenzsätze für Dreiecke – drei Seiten, zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel, eine Seite mit zwei anliegenden Winkeln – beschreiben eigentlich die Mindestinformation, die nötig ist, um ein Dreieck eindeutig festzulegen. Um drei Punkte in einer Ebene festzulegen, bräuchte man normalerweise sechs Freiheitsgrade (die x- und y-Koordinaten jedes Punkts), doch nach Abzug der drei Freiheitsgrade für Verschiebung, Drehung und Spiegelung bleiben nur drei unabhängige Angaben – eine Kombination aus Seiten und Winkeln –, um die Form zu bestimmen. SSS, SWS und WSW liefern genau diese drei Angaben auf Standardweise.

Zwei Winkel plus eine Seite, die nicht an beiden anliegt (oft SSW genannt), können dagegen mehrdeutig sein: Dieselben zwei Angaben entsprechen manchmal zwei verschiedenen Dreiecken. Dieser „Mehrdeutigkeitsfall“ verwirrt im Sinussatz-Kapitel viele Schüler gerade deshalb, weil er dem SWS-Kriterium, das ein Dreieck tatsächlich eindeutig festlegt, so ähnlich sieht.

Auch Umkreis und Inkreis sind eine Folge davon, dass ein Dreieck durch seine „drei Angaben“ vollständig bestimmt ist. Drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte legen genau einen Kreis durch sie fest, dessen Mittelpunkt sich als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten konstruieren lässt. Genau dieser geometrische Sachverhalt bildete vor der GPS-Zeit die Grundlage der Landvermessung: Mittels Triangulation lässt sich ein unbekannter Punkt allein aus zwei bekannten Punkten und ein paar gemessenen Winkeln bestimmen.

Weitere Tools in dieser Kategorie