Calcolatrice vettoriale (prodotto scalare e vettoriale, modulo, versore, angolo)
Strumento gratuito che, inseriti vettori a due o tre dimensioni, calcola automaticamente il prodotto scalare, il prodotto vettoriale, il modulo, il versore e l'angolo compreso fra due vettori.
Che cosa fa questo calcolatore di vettori
Inserite le componenti di due vettori e questo strumento restituisce in un colpo solo il prodotto scalare, il prodotto vettoriale, il modulo di ciascun vettore, i relativi versori e l'angolo che formano. Potete passare fra due e tre dimensioni; in due dimensioni il campo del prodotto vettoriale resta vuoto, perché quell'operazione è definita soltanto in tre dimensioni. La quantità ax·by − ay·bx talvolta presentata come «prodotto vettoriale 2D» è uno scalare: è semplicemente la componente z del prodotto vettoriale tridimensionale, non un vettore.
Tutto si riduce a operazioni sulle componenti più una radice quadrata e un arcocoseno. Il prodotto scalare è a·b = axbx + ayby + azbz, il modulo è √(x² + y² + z²), il versore si ottiene dividendo ogni componente per il modulo e l'angolo discende da cos θ = a·b ÷ (|a||b|). Il vettore nullo non ha direzione, quindi non ammette né versore né angolo; in quel caso lo strumento segnala un errore invece di restituire un numero fuorviante.
Come usare il calcolatore di vettori
- Scegliete la dimensione Decidete prima fra 2D e 3D. Scegliendo 3D compare il campo della componente z e viene calcolato anche il prodotto vettoriale.
- Inserite le componenti di a e b Compilate x e y (e z in tre dimensioni). Valori negativi e decimali sono accettati così come sono.
- Leggete i risultati Prodotto scalare, prodotto vettoriale, moduli, versori e angolo compaiono insieme. In 2D il campo del prodotto vettoriale ricorda che l'operazione richiede tre dimensioni.
- Verificate le direzioni sul disegno In due dimensioni i vettori vengono disegnati, il che rende molto più facile giudicare i rapporti di direzione e angolo rispetto ai soli numeri.
Consigli per sfruttarlo al meglio
- Le due e le tre dimensioni si scelgono con le apposite schede: scegliendo le tre dimensioni compaiono il campo della componente z e il risultato del prodotto vettoriale.
- Quando il prodotto scalare è nullo i due vettori sono ortogonali. Se è positivo l'angolo è acuto, se è negativo ottuso.
- Il vettore risultante dal prodotto vettoriale è perpendicolare a entrambi i vettori di partenza, secondo la regola della mano destra.
- Il versore è il vettore ottenuto dividendo quello di partenza per il proprio modulo: ha lunghezza unitaria ed esprime la sola direzione. Si usa quando interessa soltanto l'orientamento.
- Inserendo il vettore nullo, cioè con tutte le componenti a zero, il modulo è zero e non si possono calcolare né il versore né l'angolo compreso.
Quando serve il calcolo vettoriale
Controllare esercizi e preparazione agli esami
Un segno perso o una divisione fuori posto cambia il risultato di un prodotto scalare o di un angolo. Il confronto con la macchina lo rivela in pochi secondi.
Calcoli di coordinate nella grafica 3D e nei videogiochi
Le normali delle superfici nascono dal prodotto vettoriale, il rapporto fra direzione di vista e faccia dal prodotto scalare. Provare qui i numeri è più rapido che fare il debug dello shader.
Scomporre forze e calcolare il lavoro in fisica
Il lavoro è il prodotto scalare di forza e spostamento, il momento è il prodotto vettoriale del vettore posizione per la forza. I versori servono quando conta solo la direzione.
Misurare quanto due direzioni coincidono
Il prodotto scalare di due versori è esattamente cos θ. La similarità del coseno usata nell'apprendimento automatico è lo stesso calcolo sotto un altro nome.
I termini del calcolo vettoriale
- Prodotto scalare
- La somma dei prodotti delle componenti corrispondenti. Il risultato è uno scalare e, poiché vale a·b = |a||b|cos θ, un valore nullo significa che i vettori sono perpendicolari.
- Prodotto vettoriale
- Operazione definita solo in tre dimensioni il cui risultato è un vettore perpendicolare a entrambi quelli di partenza. Il suo modulo è l'area del parallelogramma che essi generano e il verso segue la regola della mano destra.
- Modulo (norma)
- La lunghezza di un vettore, data da √(x² + y² + z²). È il teorema di Pitagora portato in tre dimensioni.
- Versore
- Vettore riportato a lunghezza 1, utile quando si vuole conservare la direzione e scartare la grandezza. Si ottiene dividendo ogni componente per il modulo.
- Angolo fra vettori
- L'angolo che separa due vettori, sempre compreso fra 0° e 180°. Si ricava dividendo il prodotto scalare per il prodotto dei moduli e prendendo l'arcocoseno.
- Vettore nullo
- Quello con tutte le componenti uguali a zero. Ha lunghezza nulla e nessuna direzione, perciò non sono definiti né il versore né l'angolo.
Domande frequenti
A proposito — i vettori nati dai quaternioni di Hamilton
Il concetto e la notazione dei vettori che oggi usiamo derivano dai quaternioni, ideati nell'Ottocento dal matematico irlandese William Rowan Hamilton. Hamilton inventò i quaternioni, formati da quattro numeri, per rappresentare le rotazioni nello spazio a tre dimensioni, e le tre componenti della loro parte puramente immaginaria costituirono il prototipo del vettore.
A rendere i vettori indipendenti dai quaternioni e a sistemarli nella forma odierna, con prodotto scalare e prodotto vettoriale, furono il fisico statunitense Josiah Willard Gibbs e l'ingegnere inglese Oliver Heaviside. Alla fine dell'Ottocento, per semplificare i calcoli della fisica e in particolare dell'elettromagnetismo, estrassero dalle complicate regole dei quaternioni le sole parti necessarie e costruirono l'attuale analisi vettoriale.
Che il prodotto vettoriale sia definito in generale soltanto per i vettori a tre dimensioni dipende dal fatto che soltanto in tre dimensioni la direzione perpendicolare a due vettori risulta univocamente determinata. Grazie a questa proprietà, il prodotto vettoriale trova larga applicazione: dal momento torcente e dal momento angolare della fisica al calcolo delle normali alle superfici nella grafica al calcolatore.