Calcolo dei volumi
Strumento gratuito che calcola con la formula appropriata il volume di cubo, parallelepipedo, cilindro, sfera, cono, piramide a base quadrata e prisma a base triangolare, scegliendo il solido. Per cilindro, sfera e cono calcola anche la superficie.
Le formule del volume per ciascun solido
| Solido | Formula |
|---|---|
| Cubo | Volume = lato × lato × lato |
| Parallelepipedo | Volume = lunghezza × larghezza × altezza |
| Cilindro | Volume = π × raggio2 × altezza; superficie = 2π×raggio2 + 2π×raggio×altezza |
| Sfera | Volume = (4/3) × π × raggio3; superficie = 4π×raggio2 |
| Cono | Volume = (1/3) × π × raggio2 × altezza; superficie = π×raggio2 + π×raggio×apotema |
| Piramide a base quadrata | Volume = (1/3) × lato2 × altezza |
| Prisma a base triangolare | Volume = area di base (triangolo) × lunghezza del prisma |
L'unità del volume è il cubo dell'unità di lunghezza inserita: indicando i centimetri, per esempio, il risultato è in centimetri cubi. La superficie è nel quadrato dell'unità.
Consigli
- Mentre lo strumento per le aree riguarda le figure piane, questo ne è la versione a tre dimensioni. Poiché il volume di prismi e piramidi si ricava con lo stesso principio, area di base per altezza, eventualmente divisa per tre, comprendere le formule delle aree accelera la comprensione dei volumi.
- Nel bricolage, stimando la quantità di legname o di calcestruzzo necessaria, calcolare prima il volume di un parallelepipedo o di un cilindro aiuta a prevedere eccedenze e ammanchi.
- Per conoscere la capacità di un acquario o di una cisterna, scegliete il cilindro o il parallelepipedo e inserite le misure interne in centimetri: il volume risulterà in centimetri cubi e, diviso per mille, in litri.
- L'apotema del cono, cioè la distanza dal vertice alla circonferenza di base, necessaria al calcolo della superficie, è ricavata automaticamente da raggio e altezza: non occorre applicare a mano il teorema di Pitagora.
- Il volume di piramidi e coni è esattamente un terzo di quello dei prismi e dei cilindri con la stessa base e la stessa altezza. Imparando le formule conviene fissare anche questo rapporto.
Domande frequenti
A proposito — il cilindro e la sfera che Archimede volle sulla propria tomba
Il matematico greco Archimede scoprì che il rapporto fra il volume di una sfera e quello del cilindro che vi si circoscrive esattamente — con altezza e diametro pari al diametro della sfera — è sempre di due a tre. Il volume del cilindro è infatti pi greco per il raggio al quadrato per il diametro, cioè due pi greco per il raggio al cubo, e quello della sfera quattro terzi di pi greco per il raggio al cubo: un rapporto semplice, appunto di tre a due. Archimede ne andava tanto fiero che, secondo la tradizione, dispose per testamento che sulla sua tomba fossero incisi un cilindro e una sfera.
La proprietà per cui il volume di piramidi e coni è un terzo di quello dei prismi e dei cilindri di pari base e altezza sarebbe stata dimostrata rigorosamente nel quarto secolo avanti Cristo da Eudosso e fu poi accolta negli Elementi di Euclide. Che oltre duemila anni prima della nascita del calcolo integrale si ricavassero simili volumi con un ragionamento prossimo al passaggio al limite, il metodo di esaustione, resta uno dei traguardi decisivi nella storia della geometria.
Il calcolo del volume dei solidi che ci circondano è tuttora largamente usato nella pratica: dal dimensionamento delle cisterne alla stima del materiale necessario a una stampante tridimensionale, fino al calcolo della capienza delle scatole nella progettazione degli imballaggi. Le formule sono rimaste pressoché immutate dall'antichità, ma il campo di applicazione continua ad ampliarsi.