Calcolo del volume – cubo, cilindro, sfera e altri 4 solidi

Calcolatore gratuito del volume per 7 solidi: cubo, parallelepipedo, cilindro, sfera, cono, piramide a base quadrata e prisma a base triangolare. Scegliete il solido per ottenere subito formula e risultato, con in più la superficie.

Le formule del volume per ciascun solido

Solido	Formula
Cubo	Volume = lato × lato × lato
Parallelepipedo	Volume = lunghezza × larghezza × altezza
Cilindro	Volume = π × raggio² × altezza; superficie = 2π×raggio² + 2π×raggio×altezza
Sfera	Volume = (4/3) × π × raggio³; superficie = 4π×raggio²
Cono	Volume = (1/3) × π × raggio² × altezza; superficie = π×raggio² + π×raggio×apotema
Piramide a base quadrata	Volume = (1/3) × lato² × altezza
Prisma a base triangolare	Volume = area di base (triangolo) × lunghezza del prisma

L'unità del volume è il cubo dell'unità di lunghezza inserita: indicando i centimetri, per esempio, il risultato è in centimetri cubi. La superficie è nel quadrato dell'unità.

Che cos’è il calcolo del volume

Calcolare il volume significa stabilire quanto spazio occupa un solido – un cubo, un cilindro, una sfera – a partire da misure come la lunghezza di uno spigolo o un raggio. La formula cambia con la specie del solido: per il cilindro «area di base × altezza», per la sfera «(4/3) × π × raggio³», e così via; occorre quindi scegliere la formula che spetta al solido che si ha davanti.

Questo strumento le consente di scegliere fra sette solidi – cubo, parallelepipedo rettangolo, cilindro, sfera, cono, piramide a base quadrata e prisma triangolare – e calcola il volume da sé non appena inserisce le misure richieste. Per cilindro, sfera e cono fornisce nello stesso momento anche l’area della superficie, così ottiene subito un risultato corretto anche se la formula le è sfuggita.

Come si calcola il volume

Scelga il solido Selezioni quello che le interessa fra cubo, parallelepipedo rettangolo, cilindro, sfera, cono, piramide a base quadrata e prisma triangolare.
Inserisca le misure A seconda del solido scelto compaiono i campi per lo spigolo, per lunghezza, larghezza e altezza, per il raggio e così via. Le indichi tutte nella stessa unità, per esempio in centimetri.
Legga volume e superficie Il volume si calcola mentre digita. Per cilindro, sfera e cono l’area della superficie compare accanto.

Consigli per sfruttarlo al meglio

Mentre lo strumento per le aree riguarda le figure piane, questo ne è la versione a tre dimensioni. Poiché il volume di prismi e piramidi si ricava con lo stesso principio, area di base per altezza, eventualmente divisa per tre, comprendere le formule delle aree accelera la comprensione dei volumi.
Nel bricolage, stimando la quantità di legname o di calcestruzzo necessaria, calcolare prima il volume di un parallelepipedo o di un cilindro aiuta a prevedere eccedenze e ammanchi.
Per conoscere la capacità di un acquario o di una cisterna, scegliete il cilindro o il parallelepipedo e inserite le misure interne in centimetri: il volume risulterà in centimetri cubi e, diviso per mille, in litri.
L'apotema del cono, cioè la distanza dal vertice alla circonferenza di base, necessaria al calcolo della superficie, è ricavata automaticamente da raggio e altezza: non occorre applicare a mano il teorema di Pitagora.
Il volume di piramidi e coni è esattamente un terzo di quello dei prismi e dei cilindri con la stessa base e la stessa altezza. Imparando le formule conviene fissare anche questo rapporto.

Dove il calcolo del volume è utile

Ricavare la capacità di un acquario o di un serbatoio

Inserisca le misure interne di un cilindro o di un parallelepipedo in centimetri e otterrà il volume in centimetri cubi; diviso per 1.000 si converte in litri.

Stimare i materiali nel fai da te

Quando un lavoro impiega legno o calcestruzzo, calcolare in anticipo il volume del parallelepipedo o del cilindro le dice per tempo se il materiale sarà troppo o troppo poco.

Compiti a casa e preparazione alle verifiche

Sette formule, dal cubo al cono, stanno insieme: servono sia a controllare il proprio svolgimento mentre le si impara, sia a ripassare l’argomento di geometria.

Stimare volumi per la stampa 3D o per gli imballaggi

Scelga il solido più vicino al suo pezzo o alla sua scatola, inserisca le misure e otterrà una stima approssimativa del materiale occorrente o della capienza dell’imballaggio.

Termini del calcolo del volume

Area di base: L’area della faccia che fa da base a un cilindro, a un prisma, a un cono o a una piramide. Nella maggior parte dei casi il volume nasce da «area di base × altezza», oppure da un terzo di essa.
Apotema del cono: La lunghezza del segmento che va dal vertice di un cono a un punto della circonferenza di base. Si ricava da raggio e altezza con il teorema di Pitagora – qui è calcolata per lei – e serve per l’area della superficie del cono.
Area della superficie: La somma delle aree di tutte le facce esterne di un solido. Mentre il volume si esprime in unità al cubo (cm³ e simili), la superficie si esprime in unità al quadrato (cm² e simili).
Prismi e piramidi: Un prisma è un solido le cui due basi sono poligoni congruenti e le cui facce laterali sono parallelogrammi; una piramide ha base poligonale e facce triangolari che convergono in un punto. Il parallelepipedo rettangolo e la piramide a base quadrata ne sono gli esempi consueti.
Metodo di esaustione: Il procedimento dei matematici della Grecia antica che divide una figura in parti sempre più minute per dedurne relazioni fra aree e volumi. Servì a dimostrare che una piramide ha un terzo del volume di un prisma di uguale base e uguale altezza.

Domande frequenti

Il cubo è un parallelepipedo particolare in cui tutti gli spigoli sono uguali. Il parallelepipedo può avere lunghezza, larghezza e altezza diverse, mentre per il cubo basta indicare la misura di un solo spigolo.

È la lunghezza del segmento che congiunge il vertice a un punto della circonferenza di base. Noti il raggio di base e l'altezza, si ricava automaticamente con il teorema di Pitagora: l'apotema al quadrato è la somma dei quadrati di raggio e altezza. Lo strumento usa internamente questa formula per calcolare la superficie.

La relazione fu dimostrata dai matematici greci Eudosso e Democrito con il metodo di esaustione. Intuitivamente si può constatare che un prisma a base triangolare si suddivide in tre tetraedri congruenti, oppure osservando che, riempiendo d'acqua tre volte uno stampo a forma di piramide, si colma esattamente il prisma di pari base e altezza.

Lo strumento non richiede di indicare l'unità di lunghezza: il volume va interpretato nel cubo dell'unità inserita. Indicando i centimetri, per esempio, il risultato è in centimetri cubi e la superficie in centimetri quadrati.

La relazione si ricava immaginando il volume della sfera come somma di sottili gusci sferici sovrapposti in direzione radiale. Derivando rispetto al raggio la formula del volume si ottiene infatti esattamente quella della superficie: quando il raggio cresce di poco, il volume aggiunto equivale press'a poco alla superficie di quel momento moltiplicata per lo spessore aggiunto.

A proposito — il cilindro e la sfera che Archimede volle sulla propria tomba

Il matematico greco Archimede scoprì che il rapporto fra il volume di una sfera e quello del cilindro che vi si circoscrive esattamente — con altezza e diametro pari al diametro della sfera — è sempre di due a tre. Il volume del cilindro è infatti pi greco per il raggio al quadrato per il diametro, cioè due pi greco per il raggio al cubo, e quello della sfera quattro terzi di pi greco per il raggio al cubo: un rapporto semplice, appunto di tre a due. Archimede ne andava tanto fiero che, secondo la tradizione, dispose per testamento che sulla sua tomba fossero incisi un cilindro e una sfera.

La proprietà per cui il volume di piramidi e coni è un terzo di quello dei prismi e dei cilindri di pari base e altezza sarebbe stata dimostrata rigorosamente nel quarto secolo avanti Cristo da Eudosso e fu poi accolta negli Elementi di Euclide. Che oltre duemila anni prima della nascita del calcolo integrale si ricavassero simili volumi con un ragionamento prossimo al passaggio al limite, il metodo di esaustione, resta uno dei traguardi decisivi nella storia della geometria.

Il calcolo del volume dei solidi che ci circondano è tuttora largamente usato nella pratica: dal dimensionamento delle cisterne alla stima del materiale necessario a una stampante tridimensionale, fino al calcolo della capienza delle scatole nella progettazione degli imballaggi. Le formule sono rimaste pressoché immutate dall'antichità, ma il campo di applicazione continua ad ampliarsi.

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