삼각형 계산기（변・각도・면적）

세 변（SSS）, 두 변과 끼인각（SAS）, 한 변과 그에 이웃한 두 각（ASA） 중 하나를 입력하면 나머지 변・각도・면적・둘레・외접원 반지름・내접원 반지름을 계산하고 삼각형의 분류도 표시합니다.

팁

  • SSS（세 변） 모드에서는 삼각형의 부등식（어느 두 변의 합도 나머지 한 변보다 커야 함）을 만족하지 않는 값을 입력하면 「삼각형이 성립하지 않습니다」라고 표시됩니다.
  • 직각삼각형 여부는 최대각이 90도인지로 판정하며, 3-4-5와 같은 피타고라스 수 확인에도 사용할 수 있습니다.
  • 외접원의 반지름은 사인법칙 a / (2 sinA)로, 내접원의 반지름은 면적 ÷ 반둘레로 산출합니다.
  • SAS・ASA 모드는 측량이나 도형 문제에서 「두 가지 정보만 알고 있는」 경우의 검산에 유용합니다.

자주 묻는 질문

코사인법칙（cos A = (b²+c²−a²) / 2bc）을 사용합니다. 본 도구의 「세 변（SSS）」 모드에 세 변의 길이를 입력하면 세 각도를 자동으로 계산합니다.

삼각형이 성립하려면 어느 두 변의 길이 합도 나머지 한 변보다 커야 합니다（삼각형의 부등식）。이 조건을 만족하지 않는 값（예: 1, 1, 10）을 입력하면 평면 위에 삼각형을 그릴 수 없어 계산할 수 없습니다.

외접원의 반지름은 세 꼭짓점을 지나는 원, 내접원의 반지름은 세 변 모두에 접하는 원의 크기입니다. 건축・제도에서 삼각형 부품을 원형 틀에 맞추는 설계나 기하 증명 문제에서 자주 사용됩니다.

네. 두 변과 그 사이의 각을 알면 코사인법칙에 의해 나머지 한 변의 길이가 유일하게 정해지며, 삼각형의 모양이 완전히 확정됩니다（합동 조건 중 하나）。
ツールくん

여담이지만 ― SSS・SAS・ASA만으로 삼각형이 「결정」되는 이유

중학교 수학에서 배우는 삼각형의 합동 조건（세 변, 두 변과 끼인각, 한 변과 양 끝각）은 사실 「삼각형을 유일하게 결정하는 데 필요한 최소한의 정보량」을 나타냅니다. 평면 위 세 꼭짓점의 위치를 정하려면 본래 6개의 자유도（각 꼭짓점의 x・y좌표）가 필요하지만, 평행이동・회전・대칭이라는 3개의 자유도를 제외하면 실질적으로 3개의 독립된 정보（변과 각의 조합）만 있으면 모양이 확정됩니다. SSS・SAS・ASA는 이 「3개의 정보」를 대표하는 조합입니다.

반면 「두 각과 그 사이에 있지 않은 한 변」（흔히 SSA 조건이라 불림）은 유일하게 결정되지 않는 경우가 있습니다. 같은 두 정보가 서로 다른 두 개의 삼각형에 대응할 수 있기 때문인데, 실제로 삼각형을 유일하게 결정하는 SAS 조건과 매우 비슷해 보이는 탓에 사인법칙 단원에서 많은 학생들이 빠지는 함정 중 하나입니다.

외접원・내접원이라는 개념도 삼각형이 「3개의 정보」로 유일하게 결정된다는 성질의 응용 사례입니다. 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 반드시 그 세 점을 지나는 원을 하나로 결정하며, 그 중심은 각 변의 수직이등분선의 교점으로 작도할 수 있습니다. 이 성질은 GPS가 없던 시대에 측량사들이 이미 알고 있는 두 점과 관측한 각도만으로 미지의 한 점의 위치를 구하는 「삼각측량」의 이론적 기반이기도 했습니다.

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