삼각형 계산기 | 변・각도・면적 즉시 계산 (SSS/SAS/ASA)
세 변, 또는 두 변과 각도를 입력하면 나머지 변・각도・면적・둘레・외접원과 내접원 반지름을 무료로 즉시 계산합니다. 입력한 값으로 삼각형이 성립하는지도 바로 확인할 수 있습니다.
삼각형 계산이란
삼각형은 변과 각 중 3개의 정보만 알면 형태가 하나로 결정됩니다（삼각형의 결정 조건）. 이 도구는 그 3가지 조건 중 대표적인 SSS（세 변）・SAS（두 변과 끼인각）・ASA（한 변과 양 끝각）를 모두 지원하며, 나머지 변과 각은 물론 면적・둘레・외접원과 내접원의 반지름까지 한 번에 계산합니다. 아울러 예각・직각・둔각의 구분과 정삼각형・이등변삼각형・부등변삼각형의 구분도 함께 판정합니다.
다루는 대상은 평면 위의 삼각형입니다. SSS 모드에서는 어느 두 변의 합도 나머지 한 변보다 커야 한다는 삼각부등식을 만족하지 않는 값을 입력하면 삼각형이 성립하지 않는다는 안내가 표시됩니다. 각도의 단위는 도（°）이며, 변의 길이에는 단위를 지정하지 않으므로 입력한 길이의 단위가 그대로 면적과 반지름의 단위로 이어집니다. 계산 과정에서는 코사인법칙과 사인법칙을 함께 사용하므로, 손으로 풀 때 어느 공식을 써야 할지 헷갈리는 경우에도 결과를 비교하며 이해할 수 있습니다.
삼각형 계산기 사용 방법
- 알고 있는 정보의 유형을 선택합니다 세 변을 안다면 SSS, 두 변과 그 사이의 각을 안다면 SAS, 한 변과 그 양 끝각을 안다면 ASA를 선택합니다.
- 값을 입력합니다 선택한 유형에 맞는 입력란이 표시됩니다. 각의 위치를 잘못 지정하면 다른 삼각형이 되므로 라벨을 확인하면서 입력해 주세요.
- 결과를 확인합니다 나머지 변과 각, 면적, 둘레, 외접원과 내접원의 반지름이 표시됩니다. 삼각형의 분류도 함께 나타납니다.
- 성립하지 않는 경우 값을 다시 확인합니다 「삼각형이 성립하지 않습니다」라고 표시되면 변의 길이 조합이 삼각부등식을 만족하는지, 각의 합이 180도를 넘지 않는지 확인해 주세요.
더 잘 활용하기 위한 팁
- SSS（세 변） 모드에서는 삼각형의 부등식（어느 두 변의 합도 나머지 한 변보다 커야 함）을 만족하지 않는 값을 입력하면 「삼각형이 성립하지 않습니다」라고 표시됩니다.
- 직각삼각형 여부는 최대각이 90도인지로 판정하며, 3-4-5와 같은 피타고라스 수 확인에도 사용할 수 있습니다.
- 외접원의 반지름은 사인법칙 a / (2 sinA)로, 내접원의 반지름은 면적 ÷ 반둘레로 산출합니다.
- SAS・ASA 모드는 측량이나 도형 문제에서 「두 가지 정보만 알고 있는」 경우의 검산에 유용합니다.
삼각형 계산기 활용 방법
수학 숙제나 시험 공부의 검산
코사인법칙・사인법칙으로 직접 계산한 답을 같은 조건을 입력해 대조해 볼 수 있습니다. 어디서 실수했는지 좁혀 나가는 데 도움이 됩니다.
토지나 대지의 면적 산출
삼각형으로 나눌 수 있는 토지라면 실측한 세 변의 길이로 면적을 구할 수 있습니다. 사각형도 대각선으로 두 삼각형으로 나누어 계산할 수 있습니다.
제작물의 치수 산출
선반의 가새나 비스듬한 부재처럼 두 변과 각도만 정해져 있는 상황에서, 나머지 한 변의 길이를 구한 뒤 자재를 재단할 수 있습니다.
직각이 나오는지 확인
세 변의 길이를 입력해 최대각이 90도가 되는지 확인하면, 조립한 틀이 직각인지 수치로 검증할 수 있습니다.
삼각형 계산 관련 용어
- 삼각부등식
- 어느 두 변의 길이의 합도 나머지 한 변보다 커야 한다는 조건입니다. 이를 만족하지 않는 세 길이로는 평면 위에 삼각형을 그릴 수 없습니다.
- 코사인법칙
- 세 변의 길이로부터 각의 크기를 구하는 공식입니다. 두 변과 그 사이의 각으로 나머지 한 변을 구할 때도 사용합니다.
- 사인법칙
- 변의 길이와 그 대각의 사인 값의 비율이 일정하다는 관계식입니다. 외접원의 반지름도 이 식으로 구할 수 있습니다.
- 외접원
- 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원입니다. 중심은 각 변의 수직이등분선이 만나는 점에 있습니다.
- 내접원
- 삼각형의 세 변 모두에 접하는 원입니다. 반지름은 면적을 반둘레로 나누어 구할 수 있습니다.
- 끼인각
- 지정한 두 변 사이에 있는 각을 말합니다. SAS에서는 이 각을 사용하므로 위치를 잘못 지정하면 다른 삼각형이 됩니다.
- 합동조건
- 두 삼각형이 완전히 같은 모양이 되기 위한 최소한의 조건입니다. SSS・SAS・ASA는 중학교 수학에서 배우는 대표적인 세 가지 합동조건에 해당합니다.
- 반둘레
- 삼각형 둘레의 절반에 해당하는 값입니다. 내접원의 반지름을 구할 때（면적 ÷ 반둘레）나 헤론의 공식으로 면적을 구할 때 사용됩니다.
자주 묻는 질문
여담이지만 ― SSS・SAS・ASA만으로 삼각형이 「결정」되는 이유
중학교 수학에서 배우는 삼각형의 합동 조건（세 변, 두 변과 끼인각, 한 변과 양 끝각）은 사실 「삼각형을 유일하게 결정하는 데 필요한 최소한의 정보량」을 나타냅니다. 평면 위 세 꼭짓점의 위치를 정하려면 본래 6개의 자유도（각 꼭짓점의 x・y좌표）가 필요하지만, 평행이동・회전・대칭이라는 3개의 자유도를 제외하면 실질적으로 3개의 독립된 정보（변과 각의 조합）만 있으면 모양이 확정됩니다. SSS・SAS・ASA는 이 「3개의 정보」를 대표하는 조합입니다.
반면 「두 각과 그 사이에 있지 않은 한 변」（흔히 SSA 조건이라 불림）은 유일하게 결정되지 않는 경우가 있습니다. 같은 두 정보가 서로 다른 두 개의 삼각형에 대응할 수 있기 때문인데, 실제로 삼각형을 유일하게 결정하는 SAS 조건과 매우 비슷해 보이는 탓에 사인법칙 단원에서 많은 학생들이 빠지는 함정 중 하나입니다.
외접원・내접원이라는 개념도 삼각형이 「3개의 정보」로 유일하게 결정된다는 성질의 응용 사례입니다. 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 반드시 그 세 점을 지나는 원을 하나로 결정하며, 그 중심은 각 변의 수직이등분선의 교점으로 작도할 수 있습니다. 이 성질은 GPS가 없던 시대에 측량사들이 이미 알고 있는 두 점과 관측한 각도만으로 미지의 한 점의 위치를 구하는 「삼각측량」의 이론적 기반이기도 했습니다.