Calculadora de vectores (producto escalar, producto vectorial, módulo, vector unitario, ángulo)
Introduce dos vectores en 2D o 3D para calcular al instante el producto escalar, el producto vectorial, el módulo (norma), los vectores unitarios y el ángulo entre ambos vectores. Calculadora de vectores gratuita.
Qué hace esta calculadora de vectores
Introduzca las componentes de dos vectores y esta herramienta devuelve de una vez el producto escalar, el producto vectorial, el módulo de cada vector, sus vectores unitarios y el ángulo que forman. Puede alternar entre dos y tres dimensiones; en dos dimensiones el campo del producto vectorial queda vacío, porque esa operación solo está definida en tres dimensiones. La cantidad ax·by − ay·bx que a veces se presenta como «producto vectorial en 2D» es un escalar: no es más que la componente z del producto vectorial tridimensional, y no un vector.
Todo se reduce a operaciones con las componentes más una raíz cuadrada y un arcocoseno. El producto escalar es a·b = axbx + ayby + azbz, el módulo es √(x² + y² + z²), el vector unitario se obtiene dividiendo cada componente por el módulo y el ángulo sale de cos θ = a·b ÷ (|a||b|). El vector nulo carece de dirección, de modo que no admite vector unitario ni ángulo; en ese caso la herramienta lo señala como error en lugar de devolver una cifra engañosa.
Cómo usar la calculadora de vectores
- Elija el número de dimensiones Decida primero entre 2D y 3D. Al elegir 3D aparece el campo de la componente z y se habilita el producto vectorial.
- Introduzca las componentes de a y b Rellene x e y (y z en tres dimensiones). Los valores negativos y decimales se admiten sin más.
- Lea los resultados El producto escalar, el vectorial, los módulos, los unitarios y el ángulo aparecen juntos. En 2D el campo del producto vectorial explica que la operación necesita tres dimensiones.
- Compruebe las direcciones en el diagrama En dos dimensiones los vectores se dibujan, lo que hace mucho más fácil juzgar relaciones de dirección y ángulo que a partir de las cifras solas.
Consejos para aprovecharla mejor
- Cambia entre 2D y 3D con las pestañas de arriba. Al elegir 3D aparecen los campos del componente z y el resultado del producto vectorial.
- Cuando el producto escalar es 0, los dos vectores son ortogonales (perpendiculares). Un valor positivo indica un ángulo agudo entre ellos; un valor negativo indica un ángulo obtuso.
- El vector resultante del producto vectorial apunta en una dirección perpendicular a ambos vectores de entrada, siguiendo la regla de la mano derecha.
- Un vector unitario es el vector original dividido entre su módulo (norma): tiene una longitud exactamente igual a 1 y representa solo la dirección. Úsalo cuando solo te importe la dirección, no la magnitud.
- Introducir un vector nulo (todos los componentes iguales a 0) hace que el módulo sea 0, por lo que no se pueden calcular el vector unitario ni el ángulo para él.
Cuándo aparece el cálculo vectorial
Corregir ejercicios y práctica de examen
Un signo perdido o una división mal colocada cambian el resultado de un producto escalar o de un ángulo. Contrastarlo con una máquina lo detecta en segundos.
Cálculo de coordenadas en gráficos 3D y videojuegos
Las normales de una superficie salen del producto vectorial, y la relación entre la dirección de la cámara y una cara, del producto escalar. Probar aquí los números es más rápido que depurar el shader.
Descomponer fuerzas y calcular trabajo en física
El trabajo es el producto escalar de fuerza y desplazamiento, y el momento es el producto vectorial del vector de posición por la fuerza. Los vectores unitarios sirven cuando solo importa la dirección.
Medir cuánto coinciden dos direcciones
El producto escalar de dos vectores unitarios es exactamente cos θ. La similitud del coseno que se usa en aprendizaje automático es este mismo cálculo con otro nombre.
Términos de cálculo vectorial
- Producto escalar
- La suma de los productos de las componentes correspondientes. El resultado es un escalar y, como a·b = |a||b|cos θ, un valor de cero significa que los vectores son perpendiculares.
- Producto vectorial
- Operación definida solo en tres dimensiones cuyo resultado es un vector perpendicular a los dos de partida. Su módulo es el área del paralelogramo que ambos definen y su sentido lo fija la regla de la mano derecha.
- Módulo (norma)
- La longitud de un vector, dada por √(x² + y² + z²). Es el teorema de Pitágoras llevado a tres dimensiones.
- Vector unitario
- Vector reescalado a longitud 1, útil cuando se quiere conservar la dirección y descartar el tamaño. Se obtiene dividiendo cada componente por el módulo.
- Ángulo entre vectores
- El ángulo que separa dos vectores, siempre entre 0° y 180°. Se obtiene dividiendo el producto escalar por el producto de los módulos y tomando el arcocoseno.
- Vector nulo
- Aquel cuyas componentes son todas cero. Tiene longitud nula y ninguna dirección, así que no admite vector unitario ni ángulo.
Preguntas frecuentes
A propósito — Los vectores nacieron de los cuaterniones de Hamilton
La notación vectorial que usamos hoy se remonta a los "cuaterniones", un sistema inventado por el matemático irlandés del siglo XIX William Rowan Hamilton para representar rotaciones en tres dimensiones. Un cuaternión consta de cuatro números, y fueron los tres componentes de su "parte imaginaria" los que acabarían convirtiéndose en el prototipo del vector moderno.
Fueron el físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y el ingeniero británico Oliver Heaviside quienes separaron los vectores de los cuaterniones y los organizaron en el producto escalar y el producto vectorial que usamos hoy. Trabajando de forma independiente a finales del siglo XIX, eliminaron las partes del álgebra de cuaterniones que no eran necesarias para la física —especialmente el electromagnetismo— y construyeron el marco de análisis vectorial que todavía se enseña.
El producto vectorial suele definirse solo para vectores en 3D porque un espacio tridimensional es el único adecuado para determinar de forma única una dirección perpendicular a dos vectores dados. Gracias a esta propiedad, el producto vectorial aparece constantemente en física —en el torque y el momento angular— así como en gráficos por computadora, donde se usa para calcular el vector normal de una superficie.