ベクトル計算機（内積・外積・大きさ・単位ベクトル・なす角）
2次元・3次元のベクトルを入力するだけで、内積（ドット積）・外積（クロス積）・大きさ（ノルム）・単位ベクトル・2ベクトルのなす角を自動計算する無料のベクトル計算ツールです。
Tips
- 2次元・3次元はタブで切り替えられます。3次元を選ぶとz成分の入力欄と外積の結果が表示されます。
- 内積が0のとき、2つのベクトルは直交（垂直）しています。符号がプラスなら鋭角、マイナスなら鈍角の関係です。
- 外積の結果ベクトルは、入力した2つのベクトルの両方に垂直な向きになります（右手系）。
- 単位ベクトルは元のベクトルを大きさ（ノルム）で割った、長さ1で向きだけを表すベクトルです。方向のみを扱いたいときに使います。
- ゼロベクトル（すべての成分が0）を入力すると、大きさが0になるため単位ベクトルとなす角は計算できません。
よくある質問
内積（ドット積）は2つのベクトルから1つの数（スカラー）を求める演算で、ベクトルの類似度や、なす角の計算に使われます。外積（クロス積）は2つのベクトルから、その両方に垂直な新しいベクトルを求める演算で、3次元でのみ定義されます。
外積の結果が「2つのベクトルに垂直な方向」を一意に決められるのは3次元特有の性質だからです。2次元では垂直な方向が定まらず、4次元以上では垂直な方向が無数に存在するため、一般的な外積は3次元でのみ自然に定義されます。
cosθ = (a·b) / (|a||b|) という公式を使います。内積を2つのベクトルの大きさの積で割ることでcosθが求まり、その逆余弦（arccos）を計算することで、なす角θを度数法や弧度法で求められます。
元のベクトルと同じ向きを持ち、大きさ（長さ）がちょうど1のベクトルです。ベクトルを大きさで割ることで求められ、コンピューターグラフィックスの法線ベクトルや、物理学での方向のみを表したい場面でよく使われます。
内積を計算し、その値が0であれば2つのベクトルは直交（垂直）しています。このツールでは入力したベクトルの内積を自動計算するため、その値が0かどうかを確認するだけで判定できます。
余談ですが ― ベクトルはハミルトンの四元数から生まれた
現在私たちが使う「ベクトル」という概念と表記法は、19世紀のアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが考案した「四元数（クォータニオン）」から派生したものです。ハミルトンは3次元の回転を表現するために4つの数からなる四元数を発明しましたが、そのうち「純虚部」の3成分がのちのベクトルの原型になりました。
四元数からベクトルを独立させ、内積・外積という現在の形に整理したのは、アメリカの物理学者ジョサイア・ウィラード・ギブスとイギリスの技術者オリヴァー・ヘヴィサイドです。19世紀末、彼らは物理学（特に電磁気学）の計算を簡潔にするため、四元数の複雑な演算規則から必要な部分だけを取り出し、現在のベクトル解析の体系を作り上げました。
外積が3次元ベクトルでしか一般的に定義されないのは、外積の結果が「2つのベクトルに垂直な向き」を一意に決められる次元が3次元特有の性質だからです。この性質のおかげで、外積は物理学におけるトルク（回転力）や角運動量、コンピューターグラフィックスにおける面の法線ベクトルの計算など、幅広い分野で応用されています。