ベクトル計算機（内積・外積・大きさ・単位ベクトル・なす角）
2次元・3次元のベクトルを入力するだけで、内積（ドット積）・外積（クロス積）・大きさ（ノルム）・単位ベクトル・2ベクトルのなす角を自動計算する無料のベクトル計算ツールです。
ベクトル計算機でできること
このツールは2つのベクトルの成分を入れるだけで、内積（ドット積）・外積（クロス積）・それぞれの大きさ・単位ベクトル・2ベクトルのなす角をまとめて計算します。2次元と3次元を切り替えられ、2次元を選んだときは外積の欄が空欄になります。外積は3次元でしか定義されない演算だからです（2次元の「外積」として紹介される ax·by − ay·bx は、3次元外積のz成分だけを取り出したスカラー量で、ベクトルではありません）。
計算はすべて成分の四則演算と平方根・逆余弦で完結します。内積は a·b = axbx + ayby + azbz、大きさは √(x² + y² + z²)、単位ベクトルは各成分を大きさで割ったもの、なす角は cosθ = a·b ÷（|a||b|）を逆余弦したものです。ゼロベクトルは向きを持たないため、単位ベクトルとなす角は計算できません。その場合はエラーとして表示されます。
ベクトル計算機の使い方
- 次元を選ぶ 2次元か3次元かを先に決めます。3次元を選ぶとz成分の入力欄が現れ、外積も計算されます。
- ベクトル a と b の成分を入れる x・y（3次元ならz）の各成分を入力します。負の数や小数もそのまま扱えます。
- 結果を読み取る 内積・外積・大きさ・単位ベクトル・なす角が同時に表示されます。2次元では外積の欄に「3次元でのみ定義」と出ます。
- 図で向きを確かめる 2次元ではベクトル図が描かれます。数値だけでは判断しづらい向きや角度の関係を目で確認できます。
使いこなすためのヒント
- 2次元・3次元はタブで切り替えられます。3次元を選ぶとz成分の入力欄と外積の結果が表示されます。
- 内積が0のとき、2つのベクトルは直交（垂直）しています。符号がプラスなら鋭角、マイナスなら鈍角の関係です。
- 外積の結果ベクトルは、入力した2つのベクトルの両方に垂直な向きになります（右手系）。
- 単位ベクトルは元のベクトルを大きさ（ノルム）で割った、長さ1で向きだけを表すベクトルです。方向のみを扱いたいときに使います。
- ゼロベクトル（すべての成分が0）を入力すると、大きさが0になるため単位ベクトルとなす角は計算できません。
ベクトル計算が必要になる場面
高校・大学の演習の答え合わせ
内積やなす角は符号や割り算を1か所間違えるだけで答えが変わります。手計算の結果をそのまま照合できます。
3DプログラミングやCGの座標計算
面の法線を求めるには外積、視線と面の向きの関係を調べるには内積を使います。実装前に手元の数値で挙動を確かめられます。
物理の力の分解・仕事の計算
仕事は力と変位の内積、トルクは位置ベクトルと力の外積で表されます。単位ベクトルは力の向きだけを取り出したいときに使います。
2つの方向がどれだけ揃っているかを測る
単位ベクトル同士の内積はそのまま cosθ になります。機械学習で使われるコサイン類似度も、この計算と同じものです。
ベクトルの用語
- 内積（ドット積）
- 対応する成分どうしを掛けて足し合わせた値で、結果はスカラー（向きを持たない数）です。a·b = |a||b|cosθ が成り立つため、0 なら2つのベクトルは直交しています。
- 外積（クロス積）
- 3次元でのみ定義される演算で、結果は a とも b とも垂直なベクトルです。その大きさは a と b が張る平行四辺形の面積に等しく、向きは右手の法則で決まります。
- 大きさ（ノルム）
- ベクトルの長さで、√(x² + y² + z²) で求めます。三平方の定理を3次元へ拡張したものです。
- 単位ベクトル
- 大きさを1に揃えたベクトルで、向きの情報だけを取り出したいときに使います。各成分を大きさで割って作ります。
- なす角
- 2つのベクトルの間の角度で、0°から180°の範囲に収まります。内積を両者の大きさの積で割り、逆余弦をとって求めます。
- ゼロベクトル
- 全成分が0のベクトルです。長さが0で向きを持たないため、単位ベクトルもなす角も定義できません。
よくある質問
余談ですが ― ベクトルはハミルトンの四元数から生まれた
現在私たちが使う「ベクトル」という概念と表記法は、19世紀のアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが考案した「四元数（クォータニオン）」から派生したものです。ハミルトンは3次元の回転を表現するために4つの数からなる四元数を発明しましたが、そのうち「純虚部」の3成分がのちのベクトルの原型になりました。
四元数からベクトルを独立させ、内積・外積という現在の形に整理したのは、アメリカの物理学者ジョサイア・ウィラード・ギブスとイギリスの技術者オリヴァー・ヘヴィサイドです。19世紀末、彼らは物理学（特に電磁気学）の計算を簡潔にするため、四元数の複雑な演算規則から必要な部分だけを取り出し、現在のベクトル解析の体系を作り上げました。
外積が3次元ベクトルでしか一般的に定義されないのは、外積の結果が「2つのベクトルに垂直な向き」を一意に決められる次元が3次元特有の性質だからです。この性質のおかげで、外積は物理学におけるトルク（回転力）や角運動量、コンピューターグラフィックスにおける面の法線ベクトルの計算など、幅広い分野で応用されています。