向量計算器（點積・叉積・模長・單位向量・夾角）
輸入兩個二維或三維向量，即可自動計算點積（內積）、叉積（外積）、模長（範數）、單位向量以及兩向量之間的夾角，免費向量計算工具。
小貼士
- 可通過標籤頁切換二維、三維。選擇三維後會顯示z分量的輸入框以及叉積的計算結果。
- 當點積為0時，兩個向量正交（垂直）。點積為正表示夾角為銳角，為負表示夾角為鈍角。
- 叉積結果向量的方向同時垂直於輸入的兩個向量（遵循右手定則）。
- 單位向量是原向量除以其模長（範數）後得到的向量，長度恰好為1，只表示方向。當只關心方向而不關心大小時可以使用。
- 輸入零向量（所有分量均為0）時，其模長為0，因此無法計算單位向量與夾角。
常見問題
點積（內積）由兩個向量計算得到一個數（標量），常用於衡量向量的相似度或計算夾角。叉積（外積）由兩個向量計算得到一個新的向量，該向量同時垂直於原來的兩個向量，且僅在三維空間中有定義。
只有在三維空間中，才能唯一確定同時垂直於兩個給定向量的方向。在二維空間中無法確定這樣的垂直方向，而在四維及以上空間中這樣的方向有無數個，因此一般意義上的叉積只在三維空間中才能自然地定義。
可以使用公式 cosθ = (a·b) / (|a||b|)。將點積除以兩個向量模長的乘積即可得到cosθ，再對其取反餘弦（arccos），就能求出以角度制或弧度製表示的夾角θ。
單位向量是與原向量方向相同、但模長（長度）恰好為1的向量。將向量除以其模長即可得到單位向量，常用於計算機圖形學中的法向量，或物理學中只需表示方向的場合。
計算兩向量的點積，若結果為0，則兩向量正交（垂直）。本工具會自動計算輸入向量的點積，因此只需檢視該數值是否為0即可判斷。
閒話 ― 向量誕生於哈密頓的四元數
我們如今使用的"向量"概念與記法，源自19世紀愛爾蘭數學家威廉·羅恩·哈密頓發明的"四元數"。哈密頓為了表示三維空間中的旋轉而發明了由四個數構成的四元數，其中"純虛部"的三個分量後來成為了向量的雛形。
將向量從四元數中獨立出來，整理為如今的點積與叉積形式的，是美國物理學家約西亞·威拉德·吉布斯與英國工程師奧利弗·亥維賽。19世紀末，為了簡化物理學（尤其是電磁學）中的計算，他們從四元數複雜的運算規則中提取出必要的部分，建立起了如今的向量分析體系。
叉積之所以通常只在三維向量中有定義，是因為只有在三維空間中，才能唯一確定同時垂直於兩個給定向量的方向。正因為這一特性，叉積被廣泛應用於物理學中的力矩、角動量計算，以及計算機圖形學中曲面法向量的計算等諸多領域。