向量計算器（點積・叉積・模長・單位向量・夾角）
輸入兩個二維或三維向量，即可自動計算點積（內積）、叉積（外積）、模長（範數）、單位向量以及兩向量之間的夾角，免費向量計算工具。
向量計算機能做什麼
只要輸入兩個向量的分量，本工具就會一次給出點積（內積）、叉積（外積）、各自的長度、單位向量以及兩向量的夾角。可在二維與三維之間切換；選擇二維時叉積一欄為空，因為叉積只在三維中有定義。有時被稱作「二維叉積」的 ax·by − ay·bx 其實是純量，只是三維叉積的 z 分量，並不是向量。
全部計算都歸結為分量的四則運算加上開方與反餘弦。點積為 a·b = axbx + ayby + azbz，長度為 √(x² + y² + z²)，單位向量是各分量除以長度，夾角則由 cos θ = a·b ÷（|a||b|）取反餘弦得到。零向量沒有方向，因此無法構成單位向量，也無法求夾角；此時工具會給出錯誤提示，而不是回傳一個會誤導人的數值。
向量計算機的使用方法
- 選擇維度 先決定使用二維還是三維。選擇三維後會出現 z 分量的輸入欄，並啟用叉積計算。
- 輸入向量 a 與 b 的分量 填寫 x、y（三維時還有 z）各分量。負數與小數都可以直接使用。
- 讀取結果 點積、叉積、長度、單位向量與夾角會同時顯示。二維時叉積欄會說明該運算需要三維。
- 用圖形確認方向 二維時會繪製向量圖。僅憑數值不易判斷的方向與角度關係，可以直接用眼睛確認。
用好本工具的小技巧
- 可通過標籤頁切換二維、三維。選擇三維後會顯示z分量的輸入框以及叉積的計算結果。
- 當點積為0時，兩個向量正交（垂直）。點積為正表示夾角為銳角，為負表示夾角為鈍角。
- 叉積結果向量的方向同時垂直於輸入的兩個向量（遵循右手定則）。
- 單位向量是原向量除以其模長（範數）後得到的向量，長度恰好為1，只表示方向。當只關心方向而不關心大小時可以使用。
- 輸入零向量（所有分量均為0）時，其模長為0，因此無法計算單位向量與夾角。
需要向量運算的場景
核對高中、大學的習題答案
點積與夾角只要一處符號或除法出錯，答案就會改變。用機器核對可以在幾秒內發現問題。
三維圖形與遊戲開發中的座標計算
求面的法線要用叉積，判斷視線與面朝向的關係要用點積。先在這裡試數值，比除錯著色器快得多。
物理中的力的分解與功的計算
功是力與位移的點積，力矩是位置向量與力的叉積。只關心方向時則使用單位向量。
衡量兩個方向的接近程度
兩個單位向量的點積恰好等於 cos θ。機器學習中廣泛使用的餘弦相似度，與這裡的計算是同一回事。
向量的相關術語
- 點積（內積）
- 把對應分量相乘後求和所得的值，結果為純量。由於 a·b = |a||b|cos θ 成立，若結果為 0 則表示兩向量互相垂直。
- 叉積（外積）
- 僅在三維中有定義的運算，結果是同時垂直於兩個輸入向量的向量。其長度等於兩向量所張平行四邊形的面積，方向由右手定則決定。
- 長度（範數）
- 向量的長度，由 √(x² + y² + z²) 求得。可視為畢氏定理向三維的推廣。
- 單位向量
- 把長度調整為 1 的向量，用於只保留方向而捨去大小的場合。做法是把各分量除以長度。
- 夾角
- 兩個向量之間的角度，範圍恆在 0° 到 180° 之間。用點積除以兩者長度之積，再取反餘弦即可得到。
- 零向量
- 所有分量都為 0 的向量。它長度為零且沒有方向，因此既無法定義單位向量，也無法定義夾角。
常見問題
閒話 ― 向量誕生於哈密頓的四元數
我們如今使用的"向量"概念與記法，源自19世紀愛爾蘭數學家威廉·羅恩·哈密頓發明的"四元數"。哈密頓為了表示三維空間中的旋轉而發明了由四個數構成的四元數，其中"純虛部"的三個分量後來成為了向量的雛形。
將向量從四元數中獨立出來，整理為如今的點積與叉積形式的，是美國物理學家約西亞·威拉德·吉布斯與英國工程師奧利弗·亥維賽。19世紀末，為了簡化物理學（尤其是電磁學）中的計算，他們從四元數複雜的運算規則中提取出必要的部分，建立起了如今的向量分析體系。
叉積之所以通常只在三維向量中有定義，是因為只有在三維空間中，才能唯一確定同時垂直於兩個給定向量的方向。正因為這一特性，叉積被廣泛應用於物理學中的力矩、角動量計算，以及計算機圖形學中曲面法向量的計算等諸多領域。