体積計算
立方体・直方体・円柱・球・円錐・四角錐・三角柱の体積を、図形を選んで公式から計算する無料ツール。円柱・球・円錐は表面積も算出。
立体ごとの体積の公式一覧
| 立体 | 公式 |
|---|---|
| 立方体 | 体積 = 一辺 × 一辺 × 一辺 |
| 直方体 | 体積 = 縦 × 横 × 高さ |
| 円柱 | 体積 = π × 半径2 × 高さ、表面積 = 2π×半径2 + 2π×半径×高さ |
| 球 | 体積 = (4/3) × π × 半径3、表面積 = 4π×半径2 |
| 円錐 | 体積 = (1/3) × π × 半径2 × 高さ、表面積 = π×半径2 + π×半径×母線 |
| 四角錐 | 体積 = (1/3) × 一辺2 × 高さ |
| 三角柱 | 体積 = 底面積（三角形）× 柱の長さ |
体積の単位は、入力した長さの単位の3乗になります（例: cmで入力すればcm³）。表面積は単位の2乗になります。
Tips
- 面積計算ツールが2次元図形を対象にしているのに対し、本ツールはその3次元版です。角柱・角錐の体積は「底面積×高さ（または×1/3）」という共通の考え方で求められるため、面積の公式を理解していると体積の理解も早まります。
- DIYで木材やコンクリートの必要量を見積もる際、直方体や円柱の体積を先に計算しておくと材料の過不足を事前に把握できます。
- 水槽や貯水タンクの容量を調べたい場合、円柱や直方体を選んで内寸（cm単位）を入力すると体積（cm³）が分かり、1000で割ればリットル換算できます。
- 円錐の表面積計算に必要な母線（頂点から底面の円周までの長さ）は、半径と高さから自動的に算出しているため、別途ピタゴラスの定理を手計算する必要はありません。
- 角錐・円錐の体積は、同じ底面・高さを持つ角柱・円柱の体積のちょうど1/3になります。宿題で公式を覚える際は、この倍率の関係も一緒に押さえておくと理解が定着します。
よくある質問
立方体はすべての辺の長さが等しい特殊な直方体です。直方体は縦・横・高さがそれぞれ異なっていてもよいのに対し、立方体は一辺の長さだけを入力すれば体積が求まる点が異なります。
母線とは、円錐の頂点から底面の円周上の点まで結んだ直線の長さのことです。底面の半径と高さが分かれば、三平方の定理（母線2 = 半径2 + 高さ2）から自動的に計算できます。本ツールも内部でこの式を使って表面積を求めています。
古代ギリシャの数学者エウドクソスやデモクリトスが取り尽くし法と呼ばれる考え方でこの関係を示したことが知られています。直感的には、1つの三角柱を3つの合同な四面体（角錐）に分割できることや、実際に同じ底面・高さの角柱の中に水を満たした角錐の型を3回分入れるとちょうど満杯になる実験からも確認できます。
本ツールは長さの単位を指定していないため、入力した数値の単位の3乗が体積の単位になります。例えばセンチメートル（cm）で入力すれば、体積の結果はcm³（立方センチメートル）として解釈してください。表面積は単位の2乗（例: cm²）になります。
球の体積を半径方向に薄い球殻の集まりとして積み重ねていくと導けるのがこの関係です。実際、球の体積の式を半径rで微分すると、ちょうど表面積の式4πr²と一致します。これは半径が少しだけ増えたときに増える体積が、その瞬間の球の表面積×増加分の厚みにほぼ等しくなるためです。
余談ですが ― アルキメデスが墓標に刻ませた「円柱と球」の関係
古代ギリシャの数学者アルキメデスは、球とそれにぴったり内接する円柱（球の直径と同じ高さ・直径を持つ円柱）の体積比が常に2:3になることを発見しました。円柱の体積は πr²×2r = 2πr³、球の体積は (4/3)πr³ なので、確かに 2πr³ : (4/3)πr³ = 3 : 2 という単純な比になります。アルキメデスはこの発見を非常に誇りに思い、自分の墓標に円柱と球の図を刻むよう遺言したと伝えられています。
角錐・円錐の体積が「同じ底面・高さの角柱・円柱の1/3」になるという性質は、紀元前4世紀頃の数学者エウドクソスが厳密に証明したとされ、後にユークリッドの『原論』にも収録されました。積分という概念が確立する2000年以上前に、極限に近い考え方（取り尽くし法）でこうした立体の体積が求められていたことは、幾何学の歴史における重要な到達点のひとつです。
身の回りの立体の体積計算は、貯水タンクの容量設計から3Dプリンターの材料使用量の見積もり、パッケージデザインでの箱の容積計算まで、現代でも幅広い実務で使われています。公式そのものは古代からほとんど変わっていませんが、応用範囲は今も広がり続けています。