부피 계산기 (정육면체・원기둥・구 등 7종 공식)
정육면체・직육면체・원기둥・구・원뿔・사각뿔・삼각기둥 등 7가지 입체도형의 부피를 무료로 계산합니다. 도형만 선택하면 공식과 결과를 즉시 확인할 수 있고, 원기둥・구・원뿔은 겉넓이도 함께 계산됩니다.
입체도형별 부피 공식 목록
| 입체도형 | 공식 |
|---|---|
| 정육면체 | 부피 = 한 변 × 한 변 × 한 변 |
| 직육면체 | 부피 = 가로 × 세로 × 높이 |
| 원기둥 | 부피 = π × 반지름2 × 높이, 겉넓이 = 2π×반지름2 + 2π×반지름×높이 |
| 구 | 부피 = (4/3) × π × 반지름3, 겉넓이 = 4π×반지름2 |
| 원뿔 | 부피 = (1/3) × π × 반지름2 × 높이, 겉넓이 = π×반지름2 + π×반지름×모선 |
| 사각뿔 | 부피 = (1/3) × 한 변2 × 높이 |
| 삼각기둥 | 부피 = 밑넓이(삼각형) × 기둥의 길이 |
부피의 단위는 입력한 길이 단위의 3제곱이 됩니다（예: cm로 입력하면 cm³）. 겉넓이는 단위의 2제곱이 됩니다.
부피 계산이란
부피 계산이란 정육면체·원기둥·구와 같은 입체가 얼마만큼의 공간(부피)을 차지하는지를, 변의 길이나 반지름 등의 치수로부터 구하는 계산입니다. 입체의 종류마다 공식이 달라, 원기둥이라면 ‘밑넓이×높이’, 구라면 ‘(4/3)×π×반지름³’처럼 계산 방법이 바뀌므로, 대상 입체에 맞는 공식을 골라야 합니다.
이 도구는 정육면체·직육면체·원기둥·구·원뿔·사각뿔·삼각기둥의 7가지 가운데 입체를 고르고 필요한 치수를 입력하기만 하면 부피를 자동으로 계산합니다. 원기둥·구·원뿔에 대해서는 겉넓이도 함께 산출할 수 있으므로, 공식을 외우지 못하셨더라도 올바른 계산 결과를 바로 얻으실 수 있습니다.
부피 계산 사용 방법
- 계산하고 싶은 입체를 고릅니다 정육면체·직육면체·원기둥·구·원뿔·사각뿔·삼각기둥 가운데 구하고 싶은 입체를 선택합니다.
- 필요한 치수를 입력합니다 고르신 입체에 따라 한 변의 길이·가로세로높이·반지름 등의 입력란이 표시됩니다. 단위를 맞추어 입력해 주세요(예: 모두 cm).
- 부피·겉넓이의 결과를 확인합니다 입력과 동시에 부피가 자동으로 계산됩니다. 원기둥·구·원뿔에서는 겉넓이도 함께 표시됩니다.
더 잘 활용하기 위한 팁
- 넓이 계산기가 2차원 도형을 다룬다면, 이 도구는 그 3차원 버전입니다. 각기둥·각뿔은 모두 「밑넓이 × 높이（또는 × 1/3）」라는 공통된 원리로 구할 수 있어, 넓이 공식을 이해하면 부피 공식도 더 쉽게 이해됩니다.
- DIY 프로젝트에서 필요한 목재나 콘크리트 양을 가늠할 때, 직육면체나 원기둥의 부피를 먼저 계산해두면 자재를 너무 많이 또는 적게 구매하는 실수를 줄일 수 있습니다.
- 어항이나 물탱크의 용량을 알고 싶다면 원기둥이나 직육면체를 선택하고 내부 치수를 cm 단위로 입력한 뒤, 결과로 나온 부피（cm³）를 1000으로 나누면 리터로 환산할 수 있습니다.
- 원뿔의 겉넓이 계산에 필요한 모선（꼭짓점에서 밑면 원둘레 위의 한 점까지의 거리）은 반지름과 높이로부터 자동으로 계산되므로, 따로 피타고라스 정리를 손으로 계산할 필요가 없습니다.
- 각뿔·원뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 각기둥·원기둥 부피의 정확히 3분의 1입니다. 공식을 외울 때 이 1/3 비율도 함께 기억해두면 학습에 도움이 됩니다.
부피 계산이 도움이 되는 상황
수조·저수 탱크의 용량 계산
원기둥이나 직육면체의 안치수(cm 단위)를 입력하면 부피(cm³)를 알 수 있고, 1000으로 나누면 리터로 환산하실 수 있습니다.
DIY에서의 재료량 산정
목재나 콘크리트를 쓰는 작업에서 직육면체나 원기둥의 부피를 미리 계산해 두면, 재료의 과부족을 사전에 파악하실 수 있습니다.
학교 숙제·시험 대비
정육면체부터 원뿔까지 7가지 공식을 한데 확인하실 수 있으므로, 공식을 외울 때의 검산이나 도형 단원의 복습에 쓰실 수 있습니다.
3D 프린터나 포장의 용적 산정
조형물이나 포장 상자에 가까운 입체를 골라 치수를 입력하면, 필요한 재료량이나 포장의 용적을 대략 어림하실 수 있습니다.
용어집
- 밑넓이
- 원기둥·각기둥·원뿔·각뿔의 밑이 되는 면의 넓이입니다. 부피는 많은 경우 ‘밑넓이×높이’ 또는 그 1/3로 구할 수 있습니다.
- 모선
- 원뿔의 꼭짓점에서 밑면의 원둘레 위의 점까지 이은 직선의 길이입니다. 밑면의 반지름과 높이로부터 피타고라스의 정리로 자동으로 구해지며, 원뿔의 겉넓이 계산에 쓰입니다.
- 겉넓이
- 입체의 바깥쪽 면 전부의 넓이를 합한 것입니다. 부피가 단위의 세제곱(cm³ 등)인 데 비해, 겉넓이는 단위의 제곱(cm² 등)으로 나타냅니다.
- 각기둥·각뿔
- 각기둥은 위아래의 밑면이 합동인 다각형이고 옆면이 평행사변형이 되는 입체이며, 각뿔은 밑면이 다각형이고 옆면인 삼각형이 한 점에 모이는 입체입니다. 사각기둥(직육면체)이나 사각뿔이 대표적인 예입니다.
- 착출법(취진법)
- 고대 그리스의 수학자가 쓴, 도형을 무한히 잘게 나누어 넓이·부피의 관계를 이끌어 내는 사고방식입니다. 각뿔의 부피가 같은 밑면·높이를 지닌 각기둥의 1/3이 됨을 증명하는 데 쓰였습니다.
자주 묻는 질문
여담이지만 ― 아르키메데스가 자신의 묘비에 새기게 한 「원기둥과 구」의 관계
고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 구와 그 구에 꼭 맞게 외접하는 원기둥（구와 높이·지름이 같은 원기둥）의 부피 비가 항상 2:3이라는 사실을 발견했습니다. 원기둥의 부피는 πr²×2r = 2πr³, 구의 부피는 (4/3)πr³이므로, 실제로 2πr³ : (4/3)πr³ = 3 : 2라는 단순한 비율이 성립합니다. 아르키메데스는 이 발견을 매우 자랑스러워한 나머지, 자신의 묘비에 원기둥과 그 안에 내접한 구의 그림을 새겨달라는 유언을 남겼다고 전해집니다.
각뿔·원뿔의 부피가 「밑면과 높이가 같은 각기둥·원기둥 부피의 3분의 1」이 된다는 성질은 기원전 4세기경의 수학자 에우독소스가 엄밀하게 증명한 것으로 알려져 있으며, 훗날 유클리드의 『원론』에도 수록되었습니다. 미적분이라는 개념이 확립되기 2000년도 더 전에 극한에 가까운 사고방식（실진법）으로 이러한 입체의 부피를 구해냈다는 것은 기하학 역사에서 중요한 이정표 중 하나입니다.
일상 속 입체 부피 계산은 물탱크의 용량 설계부터 3D 프린터의 재료 사용량 추정, 패키지 디자인에서의 상자 용적 계산에 이르기까지 오늘날에도 폭넓은 실무 분야에서 활용되고 있습니다. 공식 자체는 고대부터 거의 변하지 않았지만, 그 활용 범위는 지금도 계속 넓어지고 있습니다.