Calculateur de volume

Calculez le volume d'un cube, pavé droit, cylindre, sphère, cône, pyramide à base carrée ou prisme triangulaire : choisissez une figure, la formule fait le reste. Calcule aussi l'aire de la surface pour les cylindres, sphères et cônes.

Formules de volume par figure

Figure Formule
Cube Volume = côté × côté × côté
Pavé droit Volume = longueur × largeur × hauteur
Cylindre Volume = π × rayon2 × hauteur, Aire de surface = 2π×rayon2 + 2π×rayon×hauteur
Sphère Volume = (4/3) × π × rayon3, Aire de surface = 4π×rayon2
Cône Volume = (1/3) × π × rayon2 × hauteur, Aire de surface = π×rayon2 + π×rayon×apothème
Pyramide à base carrée Volume = (1/3) × côté2 × hauteur
Prisme triangulaire Volume = aire de la base (triangle) × longueur du prisme

L'unité du volume est le cube de l'unité de longueur saisie (par exemple, si vous saisissez des valeurs en cm, le résultat est en cm³). L'aire de surface est exprimée au carré de cette unité.

Astuces

  • Alors que le Calculateur d'aire traite des figures 2D, cet outil en est la version en 3D. Prismes et pyramides suivent tous deux l'idée commune « aire de la base × hauteur » (ou × 1/3) : comprendre les formules d'aire aide donc à comprendre plus vite celles du volume.
  • Pour estimer la quantité de bois ou de béton nécessaire à un projet de bricolage, calculer d'abord le volume d'un pavé droit ou d'un cylindre permet d'éviter d'acheter trop ou pas assez de matériau.
  • Pour connaître la contenance d'un aquarium ou d'un réservoir d'eau, choisissez un cylindre ou un pavé droit, saisissez les dimensions intérieures en centimètres, puis divisez le volume obtenu (cm³) par 1000 pour le convertir en litres.
  • L'apothème dont un cône a besoin pour son aire de surface (la distance du sommet à un point du bord de la base) est calculé automatiquement à partir du rayon et de la hauteur, sans avoir à appliquer le théorème de Pythagore à la main.
  • Le volume d'une pyramide ou d'un cône vaut toujours exactement le tiers de celui d'un prisme ou d'un cylindre de même base et même hauteur. Garder ce rapport de 1/3 en tête avec les formules facilite grandement leur mémorisation pour les devoirs.

Questions fréquentes

Un cube est un pavé droit particulier dont toutes les arêtes ont la même longueur. Un pavé droit peut avoir une longueur, une largeur et une hauteur différentes, alors qu'un cube ne nécessite la saisie que d'une seule longueur de côté pour calculer son volume.

L'apothème est la distance en ligne droite entre le sommet du cône et un point du bord de sa base. Connaissant le rayon de la base et la hauteur, elle peut être calculée automatiquement grâce au théorème de Pythagore (apothème2 = rayon2 + hauteur2) ; cet outil utilise exactement cette formule en interne pour obtenir l'aire de surface.

Des mathématiciens de la Grèce antique comme Eudoxe et Démocrite ont démontré cette relation à l'aide d'une technique ancienne appelée méthode d'exhaustion. De façon intuitive, un prisme triangulaire peut être divisé en trois tétraèdres (pyramides) congruents ; on peut aussi le vérifier expérimentalement : remplir un récipient en forme de prisme en versant de l'eau depuis un moule pyramidal de même base et même hauteur nécessite exactement trois versements.

Cet outil ne présuppose aucune unité de longueur particulière ; l'unité du volume est donc simplement le cube de l'unité que vous avez saisie. Par exemple, si vous saisissez des longueurs en centimètres, interprétez le volume comme des cm³ (centimètres cubes). L'aire de surface s'exprime au carré de cette unité (par exemple cm²).

Cette relation vient du fait que l'on peut construire le volume d'une sphère comme un empilement d'une infinité de fines coquilles sphériques. En dérivant la formule du volume de la sphère par rapport au rayon r, on obtient d'ailleurs exactement la formule de l'aire de surface, 4πr² : le volume supplémentaire gagné pour une infime augmentation du rayon correspond approximativement à l'aire de surface de la sphère à cet instant multipliée par l'épaisseur de l'augmentation.
ツールくん

Anecdote — la relation entre cylindre et sphère qu'Archimède fit graver sur sa tombe

Le mathématicien de la Grèce antique Archimède découvrit qu'une sphère et le cylindre qui la circonscrit exactement (un cylindre ayant la même hauteur et le même diamètre que la sphère) présentent toujours un rapport de volume de 2:3. Le volume du cylindre vaut πr²×2r = 2πr³, celui de la sphère (4/3)πr³, ce qui donne exactement 2πr³ : (4/3)πr³ = 3 : 2. Archimède aurait été si fier de cette découverte qu'il aurait demandé qu'un schéma d'un cylindre contenant une sphère inscrite soit gravé sur sa tombe.

Le fait que le volume d'une pyramide ou d'un cône égale exactement le tiers de celui d'un prisme ou d'un cylindre de même base et même hauteur est attribué au mathématicien Eudoxe, actif vers le IVe siècle av. J.-C., puis consigné plus tard dans les « Éléments » d'Euclide. Que des géomètres soient parvenus à ce type de raisonnement proche de la limite (la méthode d'exhaustion) plus de deux mille ans avant la formalisation du calcul infinitésimal constitue l'un des jalons remarquables de l'histoire de la géométrie.

Le calcul du volume des solides du quotidien reste très utile aujourd'hui, du dimensionnement des réservoirs d'eau à l'estimation de la quantité de matériau consommée par une imprimante 3D, en passant par le calcul de la contenance des boîtes en design d'emballage. Les formules elles-mêmes ont à peine changé depuis l'Antiquité, mais leur champ d'application ne cesse de s'élargir.

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