Volumenrechner
Berechnen Sie das Volumen eines Würfels, Quaders, Zylinders, einer Kugel, eines Kegels, einer quadratischen Pyramide oder eines dreiseitigen Prismas — wählen Sie einfach eine Form, die Formel erledigt den Rest. Berechnet zusätzlich die Oberfläche von Zylindern, Kugeln und Kegeln.
Volumenformeln nach Form
| Form | Formel |
|---|---|
| Würfel | Volumen = Seite × Seite × Seite |
| Quader | Volumen = Länge × Breite × Höhe |
| Zylinder | Volumen = π × Radius2 × Höhe, Oberfläche = 2π×Radius2 + 2π×Radius×Höhe |
| Kugel | Volumen = (4/3) × π × Radius3, Oberfläche = 4π×Radius2 |
| Kegel | Volumen = (1/3) × π × Radius2 × Höhe, Oberfläche = π×Radius2 + π×Radius×Mantellinie |
| Quadratische Pyramide | Volumen = (1/3) × Seite2 × Höhe |
| Dreiseitiges Prisma | Volumen = Grundfläche (Dreieck) × Prismenlänge |
Die Einheit des Volumens ist die dritte Potenz der eingegebenen Längeneinheit (z. B. ergibt eine Eingabe in cm ein Ergebnis in cm³). Die Oberfläche steht in der zweiten Potenz dieser Einheit.
Tipps
- Während der Flächenrechner 2D-Formen behandelt, ist dieses Tool sein 3D-Gegenstück. Prismen und Pyramiden folgen beide dem gemeinsamen Prinzip „Grundfläche × Höhe“ (bzw. × 1/3), sodass das Verständnis der Flächenformeln auch das Verständnis der Volumenformeln erleichtert.
- Wenn Sie abschätzen, wie viel Holz oder Beton Sie für ein Heimwerkerprojekt benötigen, hilft die vorherige Berechnung des Volumens eines Quaders oder Zylinders, weder zu viel noch zu wenig Material zu bestellen.
- Um das Fassungsvermögen eines Aquariums oder Wassertanks zu ermitteln, wählen Sie einen Zylinder oder Quader, geben die Innenmaße in Zentimetern ein und teilen das resultierende Volumen (cm³) durch 1000, um es in Liter umzurechnen.
- Die Mantellinie, die ein Kegel für seine Oberflächenberechnung benötigt (die Entfernung von der Spitze zu einem Punkt am Rand der Grundfläche), wird automatisch aus Radius und Höhe berechnet — der Satz des Pythagoras muss nicht von Hand angewendet werden.
- Das Volumen einer Pyramide oder eines Kegels beträgt immer genau ein Drittel des Volumens eines Prismas oder Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Wenn Sie sich dieses 1/3-Verhältnis zusammen mit den Formeln merken, fällt das Auswendiglernen für Hausaufgaben deutlich leichter.
Häufig gestellte Fragen
Übrigens – die Beziehung zwischen Zylinder und Kugel, die sich Archimedes auf seinen Grabstein meißeln ließ
Der antike griechische Mathematiker Archimedes entdeckte, dass eine Kugel und der sie genau umschließende Zylinder (mit gleicher Höhe und gleichem Durchmesser wie die Kugel) stets ein Volumenverhältnis von 2:3 haben. Das Zylindervolumen beträgt πr²×2r = 2πr³, das Kugelvolumen (4/3)πr³, was genau 2πr³ : (4/3)πr³ = 3 : 2 ergibt. Archimedes soll auf diese Entdeckung so stolz gewesen sein, dass er verfügte, ein Diagramm eines Zylinders mit einer eingeschriebenen Kugel auf seinen Grabstein meißeln zu lassen.
Dass das Volumen einer Pyramide oder eines Kegels genau ein Drittel des Volumens eines Prismas oder Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe beträgt, wird dem Mathematiker Eudoxos zugeschrieben, der etwa im 4. Jahrhundert v. Chr. wirkte, und wurde später in Euklids „Elementen“ festgehalten. Dass Geometer diese Art von grenzwertnahem Denken (die Exhaustionsmethode) mehr als zweitausend Jahre vor der Formalisierung der Infinitesimalrechnung entwickelten, ist einer der bemerkenswerten Meilensteine in der Geschichte der Geometrie.
Die Berechnung des Volumens alltäglicher Körper ist auch heute noch äußerst relevant — von der Dimensionierung von Wassertanks über die Abschätzung des Materialverbrauchs von 3D-Druckern bis zur Berechnung des Fassungsvermögens von Kartons im Verpackungsdesign. Die Formeln selbst haben sich seit der Antike kaum verändert, doch ihr Anwendungsbereich wächst stetig weiter.