수학
등차수열 계산기 (aₙ = a₁ + (n−1)d)
첫째 항 a₁과 공차 d를 입력하면 등차수열의 일반항과 부분합을 자동으로 계산합니다. 항 목록과 막대 그래프로 수열을 시각화합니다.
도움말
- 공차 d가 양수이면 증가하는 수열(예: 1, 3, 5, 7, …), 음수이면 감소하는 수열, 0이면 상수 수열이 됩니다.
- 일반항은 aₙ = a₁ + (n − 1)d이고, 첫 n항의 합은 Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2입니다.
- "n 값" 입력란에 정수를 입력하면 해당 항의 값과 누적 합을 즉시 계산할 수 있어 문제 검산에 유용합니다.
- 그래프의 각 막대가 수열의 한 항에 해당합니다. 막대 높이의 차이가 일정하면 등차수열임을 시각적으로 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
공차는 연속된 두 항의 차(다음 항 − 이전 항)입니다. 등차수열에서는 어떤 인접한 두 항의 차도 항상 d와 같습니다. 예를 들어 2, 5, 8, 11, …에서 d = 3입니다.
Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2, 즉 "첫 항과 마지막 항의 평균 × 항의 수"입니다. Sₙ = n(2a₁ + (n−1)d) / 2로도 쓸 수 있습니다.
등차수열은 연속된 두 항의 차(공차)가 일정하고, 등비수열은 연속된 두 항의 비(공비)가 일정합니다. 예를 들어 2, 4, 6, 8은 공차 2인 등차수열이고, 2, 4, 8, 16은 공비 2인 등비수열입니다.
여담 ― 가우스와 1부터 100까지 더하기 전설
부분합 공식에는 유명한 일화가 있습니다. 수학자 카를 프리드리히 가우스가 초등학생이었을 때, 선생님이 1부터 100까지의 정수를 모두 더하라는 문제를 냈습니다. 다른 학생들이 하나씩 더하는 동안, 가우스는 1 + 100 = 101이 되는 쌍이 50개 있다는 사실을 깨닫고 순식간에 5050이라는 답을 구했다고 전해집니다.
이 발견 — "첫 항과 끝 항을 더하면 항상 같은 값이 된다" — 이 바로 Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 공식의 핵심입니다. 가우스는 훗날 "수학의 왕자"로 불리며 정규분포, 소수 정리, 전자기학 등 많은 분야에 혁명적인 기여를 남겼지만, 그 날카로운 재능은 어린 시절부터 이미 빛나고 있었습니다.