簡諧運動計算器（彈簧振子・單擺）
計算彈簧振子或單擺的週期、頻率與角頻率，並以圖表展示位移、速度、加速度隨時間的變化。通過彈簧常數與質量，或擺長與重力加速度，學習簡諧運動的物理規律。
使用提示
- 彈簧振子的週期只由彈簧常數和質量決定，與振幅無關。嘗試改變振幅，觀察圖表中週期數值保持不變。
- 單擺公式 T=2π√(L/g) 僅在擺角較小（約15°以內）時才準確。擺角增大後，實際週期會比該計算值更長。
- 質量對單擺的週期完全沒有影響。只要擺長相同，無論擺錘是重是輕，週期都相同。
- 將重力加速度切換為「月球」，可以看到相同擺長下週期比地球更長——重力越弱，回覆力越弱，擺動就越慢。
- 注意圖表中位移達到最大或最小值的瞬間，速度恰好為零，這直觀展示了位移與速度之間90度的相位差。
常見問題
求解運動方程 m(d²x/dt²)=-kx 可得角頻率 ω=√(k/m)，其中並不包含振幅項。振幅增大時位移變大，但根據胡克定律回覆力也按比例增大，加速度的變化方式相同，因此完成一次完整振動所需的時間（週期）保持不變。這一性質被稱為簡諧運動的「等時性」，正是伽利略發現擺鐘原理時所關注的現象。
單擺的精確運動方程中包含 sinθ 項，直接求解較為複雜。當θ足夠小時，sinθ≈θ（小角度近似）成立，方程可簡化為與簡諧運動相同的形式，從而得到簡潔的公式 T=2π√(L/g)。當擺角超過約15°後，sinθ 與 θ 之間的差異不可忽略，實際週期會比該公式的計算值更長。
兩者的運動都是由「與位移成正比、方向與位移相反」的回覆力驅動的。彈簧振子中是胡克定律（F=-kx），單擺在小角度近似下則是重力的切向分量（F≈-mg/L·x）。由於結構相同，兩個系統都可以用同樣的公式描述：角頻率 ω=√(回覆力比例常數/慣性項)。
是的，無關。在單擺的運動方程中，質量m出現在等式兩邊，推導過程中會相互抵消，因此最終的週期公式 T=2π√(L/g) 中不含質量項。這也是伽利略據說通過使用不同重量的擺錘實驗所確認的著名性質。
由於週期與擺長的平方根成正比，擺長增加到2倍時週期會變為√2倍（約1.41倍）。一個便於記憶的規律是：擺長增加到4倍時，週期恰好變為2倍。
閒話 ― 伽利略凝視的「搖擺的燈」
提到簡諧運動的起源，常被引用的一則軼事是年輕的伽利略・伽利雷在大教堂中注視著搖擺的吊燈。據說他以自己的脈搏作為計時器，發現儘管吊燈的擺動幅度逐漸變小，但每次擺動所需的時間卻幾乎沒有變化。這一觀察後來被認為是擺鐘發明以及物理學中用數學描述振動現象的重要起點之一。
彈簧振子與單擺在外觀和運動方式上截然不同，但在數學上二者都受同一性質支配——回覆力與位移成正比（類似胡克定律的線性關係）。正因為具備這種共同結構，簡諧運動理論的應用範圍極為廣泛，從音叉振動、交流電路中的LC振盪，到分子鍵的模型都能見到它的身影。
現實中的彈簧與單擺會因摩擦、空氣阻力以及材料內部損耗而逐漸減小振幅，這種現象稱為阻尼振動。本工具所建模的理想簡諧運動則假設不發生能量損失。通過測量單擺的週期來求出當地重力加速度g，至今仍是物理課堂上的經典實驗，是這一公式與現實測量相結合的一個貼近生活的例子。