簡諧運動計算器（彈簧振子・單擺）
計算彈簧振子或單擺的週期、頻率與角頻率，並以圖表展示位移、速度、加速度隨時間的變化。通過彈簧常數與質量，或擺長與重力加速度，學習簡諧運動的物理規律。
簡諧運動（彈簧振子・單擺）計算是什麼
簡諧運動是指物體受到「與位移成正比、方向相反」的回復力作用而產生的週期性往復運動。本工具針對彈簧振子（由彈簧常數k與質量m決定）與單擺（由擺長L與重力加速度g決定）這兩種典型的簡諧運動系統，計算週期T、頻率f與角頻率ω。
只需輸入數值，工具便會依據理論公式（彈簧振子為T=2π√(m/k)，單擺為T=2π√(L/g)）給出計算結果，並以圖表展示位移、速度、加速度隨時間的變化。可用於物理課程學習、實驗報告核對以及公式驗算。
簡諧運動計算器的使用方法
- 選擇模式 在頁面上方切換「彈簧振子」或「單擺」，選擇要計算的系統。
- 輸入所需數值 彈簧振子需輸入彈簧常數k與質量m；單擺需輸入擺長L與重力加速度g。
- 設定振幅或擺角 彈簧振子設定振幅，單擺設定初始擺角（15°以內），用於決定圖表中的振動幅度。
- 查看計算結果與圖表 系統自動計算週期、頻率與角頻率，並繪製位移x(t)、速度v(t)、加速度a(t)隨時間變化的曲線。
- 更改數值進行比較 嘗試改變質量、擺長或重力加速度並重新計算，觀察週期如何隨之變化。
用好本工具的小技巧
- 彈簧振子的週期只由彈簧常數和質量決定，與振幅無關。嘗試改變振幅，觀察圖表中週期數值保持不變。
- 單擺公式 T=2π√(L/g) 僅在擺角較小（約15°以內）時才準確。擺角增大後，實際週期會比該計算值更長。
- 質量對單擺的週期完全沒有影響。只要擺長相同，無論擺錘是重是輕，週期都相同。
- 將重力加速度切換為「月球」，可以看到相同擺長下週期比地球更長——重力越弱，回覆力越弱，擺動就越慢。
- 注意圖表中位移達到最大或最小值的瞬間，速度恰好為零，這直觀展示了位移與速度之間90度的相位差。
簡諧運動計算器的應用場景
物理作業與考試複習
用於核對彈簧振子或單擺週期計算題的答案，並確認對公式的理解是否正確。
實驗數據核對
將實測的擺長、質量所得實驗值與理論公式計算值對比，評估實驗誤差。
教學演示輔助
教師可用於演示振幅、質量、重力加速度變化時週期及圖表的變化情況。
振動週期的初步估算
在設計簡易彈簧裝置或擺鐘等結構時，可預先估算大致的振動週期。
簡諧運動相關術語
- 簡諧運動
- 由與位移成正比的回覆力引起的週期性往復運動，其位移隨時間呈正弦曲線變化。
- 回覆力
- 使物體回到平衡位置的力。彈簧振子中為胡克定律（F=-kx），單擺中為重力的切向分量。
- 角頻率（ω）
- 單位時間內相位變化量（單位：rad/s），與週期T的關係為ω=2π/T。
- 週期（T）
- 完成一次往復運動所需的時間（秒）。彈簧振子為T=2π√(m/k)，單擺為T=2π√(L/g)。
- 彈簧常數（k）
- 表示彈簧硬度的數值（N/m）。數值越大，產生相同位移所需的力越大，週期也越短。
- 單擺
- 將質量懸掛於無質量細線上，並以小角度擺動的理想化擺動模型。
- 小角度近似
- 當擺角θ較小時，sinθ≈θ成立的近似方法。單擺的週期公式即基於此近似成立。
常見問題
閒話 ― 伽利略凝視的「搖擺的燈」
提到簡諧運動的起源，常被引用的一則軼事是年輕的伽利略・伽利雷在大教堂中注視著搖擺的吊燈。據說他以自己的脈搏作為計時器，發現儘管吊燈的擺動幅度逐漸變小，但每次擺動所需的時間卻幾乎沒有變化。這一觀察後來被認為是擺鐘發明以及物理學中用數學描述振動現象的重要起點之一。
彈簧振子與單擺在外觀和運動方式上截然不同，但在數學上二者都受同一性質支配——回覆力與位移成正比（類似胡克定律的線性關係）。正因為具備這種共同結構，簡諧運動理論的應用範圍極為廣泛，從音叉振動、交流電路中的LC振盪，到分子鍵的模型都能見到它的身影。
現實中的彈簧與單擺會因摩擦、空氣阻力以及材料內部損耗而逐漸減小振幅，這種現象稱為阻尼振動。本工具所建模的理想簡諧運動則假設不發生能量損失。通過測量單擺的週期來求出當地重力加速度g，至今仍是物理課堂上的經典實驗，是這一公式與現實測量相結合的一個貼近生活的例子。