단진동(용수철 진자・단진자) 계산기
용수철 진자와 단진자의 주기・진동수・각진동수를 계산하고, 변위・속도・가속도의 시간 변화를 그래프로 확인할 수 있는 물리 계산 도구입니다. 용수철 상수와 질량, 또는 진자의 길이와 중력 가속도로부터 단진동의 성질을 배울 수 있습니다.
사용 팁
- 용수철 진자의 주기는 진폭（진동 폭）과 관계없이 용수철 상수와 질량만으로 결정됩니다. 진폭을 바꿔도 그래프에서 주기 값이 변하지 않는 것을 확인해 보세요.
- 단진자 공식 T=2π√(L/g)는 진폭 각도가 작을 때（대략 15° 미만）에만 정확한 근사식입니다. 각도가 커지면 실제 주기는 이 계산값보다 길어집니다.
- 질량은 단진자의 주기에 전혀 영향을 주지 않습니다. 같은 길이의 실이라면 추가 무겁든 가볍든 주기는 동일합니다.
- 중력 가속도를 「달」로 바꾸면 같은 길이의 진자라도 지구보다 주기가 길어지는 것을 확인할 수 있습니다. 중력이 약할수록 복원력이 약해져 진동이 느려지기 때문입니다.
- 그래프에서 변위가 최대・최소가 되는 순간 속도가 0이 되는 점에 주목하면, 변위와 속도의 위상이 90도 어긋나 있음을 시각적으로 이해할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
운동 방정식 m(d²x/dt²)=-kx를 풀면 각진동수 ω=√(k/m)라는, 진폭을 포함하지 않는 식이 얻어집니다. 진폭이 커지면 변위도 커지지만, 훅의 법칙에 의해 복원력도 그에 비례해 커지므로 가속되는 정도도 같은 비율로 강해져, 결과적으로 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간（주기）은 변하지 않습니다. 이 성질은 단진동의 「등시성」이라 불리며, 갈릴레오가 진자시계의 원리로 주목했던 것으로도 알려져 있습니다.
단진자의 정확한 운동 방정식에는 sinθ 항이 포함되어 있어 그대로 풀기가 복잡합니다. θ가 충분히 작을 때 sinθ≈θ라는 근사（미소각 근사）가 성립하므로 방정식이 단진동과 같은 형태로 단순화되어, T=2π√(L/g)라는 간결한 식이 얻어집니다. 진폭 각도가 대략 15°를 넘으면 sinθ와 θ의 차이를 무시할 수 없게 되어 실제 주기는 이 식보다 길어집니다.
두 경우 모두 「변위에 비례하고 변위와 반대 방향으로 작용하는 복원력」에 의해 운동이 일어나기 때문입니다. 용수철 진자에서는 훅의 법칙（F=-kx）이, 단진자에서는 미소각 근사 하의 중력의 접선 성분（F≈-mg/L·x）이 그 역할을 합니다. 이 공통된 구조 덕분에 두 계 모두 같은 형태의 각진동수 ω=√(복원력 비례상수/관성항) 식으로 표현할 수 있습니다.
네, 관계없습니다. 단진자의 운동 방정식에서는 질량 m이 양변에 나타나 계산 과정에서 상쇄되므로, 최종 주기 공식 T=2π√(L/g)에는 질량이 남지 않습니다. 이는 갈릴레오가 서로 다른 무게의 진자로 실험하여 확인했다고 전해지는 유명한 성질입니다.
주기는 길이의 제곱근에 비례하므로, 길이를 2배로 하면 주기는 √2배（약 1.41배）가 됩니다. 길이를 4배로 하면 주기가 정확히 2배가 된다고 기억해 두면 직관적으로 이해하기 쉽습니다.
여담 ― 갈릴레오가 바라본 「흔들리는 램프」
단진동이라는 개념의 출발점으로 자주 언급되는 것이 젊은 갈릴레오 갈릴레이가 대성당에서 흔들리는 샹들리에를 바라보았다는 일화입니다. 자신의 맥박을 시계 삼아, 샹들리에의 진폭이 점점 줄어드는데도 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간은 거의 변하지 않는다는 것을 알아챘다고 전해집니다. 이 관찰은 훗날 진자시계의 발명과, 진동 현상을 수식으로 기술하는 물리학 발전으로 이어졌습니다.
용수철 진자와 단진자는 겉모습과 움직이는 방식이 다르지만, 수식 상으로는 둘 다 「변위에 비례하는 복원력」이라는 공통된 성질（훅의 법칙적 선형성）에 의해 지배됩니다. 이 공통성 덕분에 단진동 이론은 소리굽쇠의 진동, 교류 회로의 LC 진동, 나아가 분자 결합을 나타내는 모델에 이르기까지 물리학의 매우 넓은 분야에 응용되고 있습니다.
실제 진자나 용수철은 마찰・공기 저항・재료 내부의 마찰 등으로 인해 점차 진폭이 줄어드는 「감쇠 진동」을 하지만, 이 도구가 다루는 이상적인 단진동은 에너지 손실이 없다는 전제의 모델입니다. 실험실에서 진자의 주기를 측정해 중력 가속도 g를 구하는 실험은 지금도 물리 교육의 정석으로 널리 이루어지고 있으며, 단진동 공식이 실제 측정과 연결되는 친숙한 예가 되고 있습니다.