简谐运动计算器（弹簧振子・单摆）

计算弹簧振子或单摆的周期、频率与角频率，并以图表展示位移、速度、加速度随时间的变化。通过弹簧常数与质量，或摆长与重力加速度，学习简谐运动的物理规律。

使用提示

求解运动方程 m(d²x/dt²)=-kx 可得角频率 ω=√(k/m)，其中并不包含振幅项。振幅增大时位移变大，但根据胡克定律回复力也按比例增大，加速度的变化方式相同，因此完成一次完整振动所需的时间（周期）保持不变。这一性质被称为简谐运动的「等时性」，正是伽利略发现摆钟原理时所关注的现象。

单摆的精确运动方程中包含 sinθ 项，直接求解较为复杂。当θ足够小时，sinθ≈θ（小角度近似）成立，方程可简化为与简谐运动相同的形式，从而得到简洁的公式 T=2π√(L/g)。当摆角超过约15°后，sinθ 与 θ 之间的差异不可忽略，实际周期会比该公式的计算值更长。

两者的运动都是由「与位移成正比、方向与位移相反」的回复力驱动的。弹簧振子中是胡克定律（F=-kx），单摆在小角度近似下则是重力的切向分量（F≈-mg/L·x）。由于结构相同，两个系统都可以用同样的公式描述：角频率 ω=√(回复力比例常数/惯性项)。

是的，无关。在单摆的运动方程中，质量m出现在等式两边，推导过程中会相互抵消，因此最终的周期公式 T=2π√(L/g) 中不含质量项。这也是伽利略据说通过使用不同重量的摆锤实验所确认的著名性质。

由于周期与摆长的平方根成正比，摆长增加到2倍时周期会变为√2倍（约1.41倍）。一个便于记忆的规律是：摆长增加到4倍时，周期恰好变为2倍。

提到简谐运动的起源，常被引用的一则轶事是年轻的伽利略・伽利雷在大教堂中注视着摇摆的吊灯。据说他以自己的脉搏作为计时器，发现尽管吊灯的摆动幅度逐渐变小，但每次摆动所需的时间却几乎没有变化。这一观察后来被认为是摆钟发明以及物理学中用数学描述振动现象的重要起点之一。

弹簧振子与单摆在外观和运动方式上截然不同，但在数学上二者都受同一性质支配——回复力与位移成正比（类似胡克定律的线性关系）。正因为具备这种共同结构，简谐运动理论的应用范围极为广泛，从音叉振动、交流电路中的LC振荡，到分子键的模型都能见到它的身影。

现实中的弹簧与单摆会因摩擦、空气阻力以及材料内部损耗而逐渐减小振幅，这种现象称为阻尼振动。本工具所建模的理想简谐运动则假设不发生能量损失。通过测量单摆的周期来求出当地重力加速度g，至今仍是物理课堂上的经典实验，是这一公式与现实测量相结合的一个贴近生活的例子。