Mathematik
Ellipsengraph (x²/a² + y²/b² = 1)
Gib die Halbachsen a und b ein, um die Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 zu zeichnen. Berechnet automatisch Fläche, Umfang, Exzentrizität und Brennpunkte. Bei a = b wird die Ellipse zum Kreis.
Tipps
- a ist die Halbachse entlang der x-Achse, b die Halbachse entlang der y-Achse. Bei a = b wird die Ellipse zum Kreis.
- Die Exzentrizität e gibt an, wie gestreckt die Ellipse ist. e = 0 entspricht einem Kreis; Werte nahe 1 erzeugen eine sehr lang gestreckte Ellipse.
- Die Fläche lässt sich exakt als πab berechnen. Der Umfang hat keine geschlossene Formel in elementaren Funktionen; dieses Tool verwendet die Ramanujan-Näherung: π(3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))).
- Das Ändern des Anzeigebereichs ändert nicht die Form der Ellipse. Die Brennpunkte (orange Rauten) werden auf der großen Achse angezeigt.
Häufige Fragen
Wenn a = b, wird die Ellipse zum perfekten Kreis. Die Exzentrizität ist 0 und die beiden Brennpunkte fallen im Mittelpunkt zusammen.
Der exakte Umfang einer Ellipse erfordert ein elliptisches Integral ohne geschlossene Form in elementaren Funktionen (außer bei a = b). Dieses Tool verwendet die Ramanujan-Näherung, die in der Regel auf unter 1 % genau ist.
Wenn a ≥ b liegt die große Achse horizontal und die Brennpunkte befinden sich bei (±c, 0) mit c = √(a²−b²). Wenn b > a liegt die große Achse vertikal und die Brennpunkte bei (0, ±c) mit c = √(b²−a²). Sie erscheinen als orange Rauten im Graphen.
Übrigens – Ellipsen und Planetenbahnen
Das Wort „Ellipse" stammt aus dem altgriechischen „ἔλλειψις" (elleipsis), was „Mangel" oder „Fehlen" bedeutet — wenn ein Kegel schräg geschnitten wird, hat der Querschnitt gegenüber einem vollständigen Kreis ein „Defizit".
Keplers erstes Gesetz (1609) besagt, dass jeder Planet die Sonne in einer Ellipse umkreist, wobei die Sonne in einem Brennpunkt liegt. Die Umlaufbahnexzentrizität der Erde beträgt etwa 0,0167 (fast kreisförmig), die des Pluto hingegen etwa 0,249.