Mathematik
Exponentialfunktion Graph (y = a·bˣ + c)
Gib Koeffizient a, Basis b und Verschiebung c ein, um y = a·bˣ + c zu zeichnen. Berechnet automatisch y-Achsenabschnitt, horizontale Asymptote und Verdopplungsinkrement.
Tipps
- Wenn b > 1, wächst die Funktion (steigt nach rechts). Wenn 0 < b < 1, fällt sie (sinkt nach rechts).
- Die horizontale Asymptote ist y = c. Bei c = 0 nähert sich der Graph der x-Achse an, wenn x → ±∞.
- Ein negativer Koeffizient a spiegelt den Graphen vertikal — selbst bei b > 1 fällt die Funktion mit steigendem x.
- Das Verdopplungsinkrement ist der x-Wert, für den b^x = 2 gilt, also ln(2)/ln(b). Bei b = 2 verdoppelt sich y jedes Mal, wenn x um 1 steigt.
Häufige Fragen
Wenn b = 1, dann ist y = a·1^x + c = a + c (eine Konstante). Das ist keine Exponentialfunktion, daher ist b = 1 nicht erlaubt.
Wenn b ≤ 0, ist b^x nicht für alle reellen x definiert. Zum Beispiel ist (−2)^0.5 keine reelle Zahl.
Setze b = 2,71828 (oder genauer 2,718281828), a = 1 und c = 0. Der Graph nähert sich y = eˣ an.
Übrigens – Zinseszins und die Zahl e
Exponentialfunktionen sind die Mathematik des Zinseszinses. Ein Kapital P, das n Jahre lang zu einem jährlichen Zinssatz r angelegt wird, ergibt P·(1+r)ⁿ — genau eine Exponentialfunktion mit a = P, b = 1+r und c = 0.
Die natürliche Basis e ≈ 2,71828 entsteht aus dem kontinuierlichen Zinseszins: (1+1/n)ⁿ → e für n → ∞. Die Funktion y = eˣ ist einzigartig, weil sie ihre eigene Ableitung ist, und taucht daher in Analysis, Physik und Wahrscheinlichkeitstheorie allgegenwärtig auf.