彩票中獎模擬器｜用蒙特卡洛法視覺化期望值與回收率
基於日本年末鉅獎彩票（年末ジャンボ）的中獎金額表，精確計算期望值與回收率。指定購買張數執行蒙特卡洛模擬，用直方圖檢視收支分佈的免費工具。
中獎金額表（日本年末鉅獎彩票標準）
| 等級 | 中獎數量 | 中獎金額 |
|---|---|---|
| 一等獎 | 1個 | 700,000,000日元 |
| 一等獎前後獎 | 2個 | 150,000,000日元 |
| 一等獎組別獎 | 9個 | 100,000日元 |
| 二等獎 | 1個 | 100,000,000日元 |
| 三等獎 | 3個 | 1,000,000日元 |
| 四等獎 | 100個 | 100,000日元 |
| 五等獎 | 2,000個 | 10,000日元 |
| 六等獎 | 100,000個 | 3,000日元 |
| 七等獎 | 1,000,000個 | 300日元 |
※ 以上為基於日本年末鉅獎彩票標準等級結構的代表性數值。實際中獎金額與中獎數量以每次開獎的官方公告為準，可能略有不同。
根據此中獎金額表，1個單位（10,000,000張）彩票的獎金總額為1,733,900,000日元。對於單價300日元的彩票，期望值約為173.4日元，回收率約為57.8%。也就是說，平均而言只能拿回購買金額的一半多一點。
什麼是彩票中獎模擬器
一提到彩票，大家的注意力往往只集中在「中了就是好幾億日圓」這一點上，但購彩者實際能拿回多少錢的分佈情況卻完全是另一回事。本工具基於日本年末鉅獎彩票（年末ジャンボ）的中獎金額表，嚴格計算出期望值與回收率，再透過蒙特卡洛模擬反覆執行「購買指定張數」的試驗，以直方圖展示收支的分佈情況。
真正值得關注的是分佈的形狀：絕大多數試驗都落在虧損一側，只有極少數會大幅偏向獲利一側。這種失衡正是彩票的本質所在，只看平均值是無法體會到的。模擬本身基於偽隨機數，並不能預測真實開獎結果，其目的僅在於幫助直觀感受這類機率的性質。
模擬器使用方法
- 查看中獎金額表中的期望值 系統會先顯示根據各等級中獎張數與金額算出的期望值和回收率，讓你了解平均能拿回購買金額的多少。
- 輸入購買張數 輸入一次試驗中購買的張數。填入實際考慮購買的張數，能得到更貼近現實的分佈結果。
- 解讀直方圖的形狀 橫軸為收支金額，縱軸為試驗次數。請留意集中的區域在哪裡，以及獲利一側的尾部有多窄。
- 重新執行以確認一致性 每次執行都會使用新的隨機數序列，具體數值會略有變化。多試幾次，確認整體分佈形狀是否保持相似。
用好本工具的小技巧
- 購買張數越多，平均收支越接近整體回收率（約58%），但這絕不意味著會“賺錢”。根據大數定律，試驗次數越多，結果會收斂於期望值，而不會超過期望值。
- 請留意直方圖中大多數試驗都集中在“收支為負”一側，只有極少數試驗會大幅偏向右側（大獎）。這種失衡的分佈正是彩票的特徵。
- 每次點選“重新執行模擬”都會使用新的隨機數序列，因此結果每次都會略有不同。多執行幾次，觀察整體分佈形狀的一致性。
- 本工具的回收率（約58%）明顯低於日本的公營競技（賽馬、腳踏車競賽等，約75%）和柏青哥（約80~85%），可作為比較各類博彩經濟性的參考基準。
模擬器的應用場景
在購買前作為預算參考
用實際考慮購買的張數進行試驗，可以了解平均收支和中獎試驗的比例，讓預算決策不再僅憑感覺。
理解期望值與分佈的差異
即使平均值相同，分佈形狀不同也會帶來完全不同的體驗，是學習機率統計中失衡分佈的典型例子。
與其他博彩比較回收率
將彩票的回收率與公營競技、柏青哥等的水準並列比較，可以用數字直觀了解各自的設計思路差異。
驗證大數定律
逐步增加購買張數，可以觀察到平均收支逐漸趨近期望值的過程，直觀體會試驗次數與收斂之間的關係。
機率與期望值術語
- 期望值
- 每次試驗平均能獲得的金額，將各等級中獎金額乘以對應機率後加總即可得出。
- 回收率
- 相對於購買金額，平均能拿回的比例。等於期望值除以購買金額，本彩票約為58%。
- 蒙特卡洛法
- 透過大量重複隨機試驗，從結果分佈中研究其性質的方法，常用於難以用公式直接求解的問題。
- 大數定律
- 試驗次數越多，平均值越接近期望值的法則，也是購買張數增加也無法縮小預期損失的原因。
- 直方圖
- 用長條的高度表示各數值區間內出現次數的圖表，可以直觀看出結果集中在哪個區間。
- 失衡分佈
- 並非左右對稱、而是在一側拖著長尾的分佈。彩票的分佈正是在獲利一側呈現出極端的長尾形態。
常見問題
閒話 ― 為什麼彩票的回收率這麼低
日本的彩票依據《當選金附證票法》發行，該法規定中獎金總額被限制在銷售總額的固定比例以內。剩餘的銷售款用於發行方（都道府縣、指定城市）的公共事業經費（社會福利、教育、防災等）以及印刷、銷售事務費用。也就是說，回收率低本身就是制度設計的一部分，這也是彩票回收率低於大多數其他博彩形式的原因。
賽馬、腳踏車競賽等公營競技的回收率通常在75%左右，柏青哥、柏青嫂的實際回收率一般在80~85%左右。相比之下，彩票的回收率（年末鉅獎約58%）明顯偏低。但彩票的優勢在於門檻極低——一張彩票僅需數百日元，而一等獎卻可能高達數億日元，這種“低風險、低機率、超高獎金”的設計是其他博彩所不具備的獨特魅力。
彩票中獎金完全不徵收所得稅和居民稅（《當選金附證票法》第13條）。這一制度基於“購買金額中已實質性包含相當於稅金的部分”的理念，因此中獎者可以全額獲得獎金，相比其他一次性收入（如抽獎獎品，通常需要納稅）而言是彩票獨有的優勢。