オイラーのφ関数（トーシェント関数）計算機
整数 N（1〜1,000,000）を入力すると、N と互いに素な 1〜N の整数の個数（オイラーのφ関数 φ(N)）を、素因数分解と計算式つきで即時表示します。1〜100のφ(n)早見表付き。
1〜100 のφ(n)早見表
1から100までの整数について、素因数分解とオイラーのφ関数の値をまとめた一覧表です。
| N | 素因数分解 | φ(n) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 2² | 2 |
| 5 | 5 | 4 |
| 6 | 2 × 3 | 2 |
| 7 | 7 | 6 |
| 8 | 2³ | 4 |
| 9 | 3² | 6 |
| 10 | 2 × 5 | 4 |
| 11 | 11 | 10 |
| 12 | 2² × 3 | 4 |
| 13 | 13 | 12 |
| 14 | 2 × 7 | 6 |
| 15 | 3 × 5 | 8 |
| 16 | 2⁴ | 8 |
| 17 | 17 | 16 |
| 18 | 2 × 3² | 6 |
| 19 | 19 | 18 |
| 20 | 2² × 5 | 8 |
| 21 | 3 × 7 | 12 |
| 22 | 2 × 11 | 10 |
| 23 | 23 | 22 |
| 24 | 2³ × 3 | 8 |
| 25 | 5² | 20 |
| 26 | 2 × 13 | 12 |
| 27 | 3³ | 18 |
| 28 | 2² × 7 | 12 |
| 29 | 29 | 28 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | 8 |
| 31 | 31 | 30 |
| 32 | 2⁵ | 16 |
| 33 | 3 × 11 | 20 |
| 34 | 2 × 17 | 16 |
| 35 | 5 × 7 | 24 |
| 36 | 2² × 3² | 12 |
| 37 | 37 | 36 |
| 38 | 2 × 19 | 18 |
| 39 | 3 × 13 | 24 |
| 40 | 2³ × 5 | 16 |
| 41 | 41 | 40 |
| 42 | 2 × 3 × 7 | 12 |
| 43 | 43 | 42 |
| 44 | 2² × 11 | 20 |
| 45 | 3² × 5 | 24 |
| 46 | 2 × 23 | 22 |
| 47 | 47 | 46 |
| 48 | 2⁴ × 3 | 16 |
| 49 | 7² | 42 |
| 50 | 2 × 5² | 20 |
| 51 | 3 × 17 | 32 |
| 52 | 2² × 13 | 24 |
| 53 | 53 | 52 |
| 54 | 2 × 3³ | 18 |
| 55 | 5 × 11 | 40 |
| 56 | 2³ × 7 | 24 |
| 57 | 3 × 19 | 36 |
| 58 | 2 × 29 | 28 |
| 59 | 59 | 58 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | 16 |
| 61 | 61 | 60 |
| 62 | 2 × 31 | 30 |
| 63 | 3² × 7 | 36 |
| 64 | 2⁶ | 32 |
| 65 | 5 × 13 | 48 |
| 66 | 2 × 3 × 11 | 20 |
| 67 | 67 | 66 |
| 68 | 2² × 17 | 32 |
| 69 | 3 × 23 | 44 |
| 70 | 2 × 5 × 7 | 24 |
| 71 | 71 | 70 |
| 72 | 2³ × 3² | 24 |
| 73 | 73 | 72 |
| 74 | 2 × 37 | 36 |
| 75 | 3 × 5² | 40 |
| 76 | 2² × 19 | 36 |
| 77 | 7 × 11 | 60 |
| 78 | 2 × 3 × 13 | 24 |
| 79 | 79 | 78 |
| 80 | 2⁴ × 5 | 32 |
| 81 | 3⁴ | 54 |
| 82 | 2 × 41 | 40 |
| 83 | 83 | 82 |
| 84 | 2² × 3 × 7 | 24 |
| 85 | 5 × 17 | 64 |
| 86 | 2 × 43 | 42 |
| 87 | 3 × 29 | 56 |
| 88 | 2³ × 11 | 40 |
| 89 | 89 | 88 |
| 90 | 2 × 3² × 5 | 24 |
| 91 | 7 × 13 | 72 |
| 92 | 2² × 23 | 44 |
| 93 | 3 × 31 | 60 |
| 94 | 2 × 47 | 46 |
| 95 | 5 × 19 | 72 |
| 96 | 2⁵ × 3 | 32 |
| 97 | 97 | 96 |
| 98 | 2 × 7² | 42 |
| 99 | 3² × 11 | 60 |
| 100 | 2² × 5² | 40 |
Tips
- オイラーのφ関数 φ(n)は「1からnまでの整数のうち、nと互いに素な数の個数」を表します。例えば φ(9) = 6（1, 2, 4, 5, 7, 8 の6個がnと互いに素）。
- nが素数pのときは φ(p) = p − 1 になります。素数と互いに素な数は、その素数自身を除く1からpまでの全ての数だからです。
- nが2つの相異なる素数p, qの積のとき φ(pq) = (p−1)(q−1) となり、この性質はRSA暗号の鍵生成に直接利用されています。
- 計算式 φ(n) = n × Π(1 − 1/p) は、nの相異なる素因数pすべてについての積です。指数（べき乗の回数）は結果に影響しません。
- このツールは1〜1,000,000の範囲に対応しており、試し割り法による素因数分解で瞬時にφ(n)を求めます。
よくある質問
整数論の基礎理論としてはもちろん、暗号理論（特にRSA暗号の鍵生成）で中心的な役割を果たします。RSA暗号では秘密鍵を求める計算に φ(n) = (p−1)(q−1) の値が使われます。
慣習として、φ(1) = 1 と定義されています。「1と互いに素な、1以下の整数」は1自身しかありませんが、数学的な整合性（乗法的関数としての性質を保つため）からφ(1)=1と定めるのが標準的な扱いです。
はい。素数pは1とp自身以外に約数を持たないため、1からpまでの整数のうちpと互いに素なものはp自身を除く全て、つまり φ(p) = p − 1 になります。
RSA暗号は2つの大きな素数p, qを掛け合わせた合成数 n = pq を公開鍵の一部にします。秘密鍵を計算するにはφ(n) = (p−1)(q−1)の値が必要ですが、nを素因数分解できなければφ(n)を求められないため、大きな数の素因数分解の困難さがRSA暗号の安全性の土台になっています。
余談ですが ― オイラーが18世紀に見つけた「互いに素」を数える関数
オイラーのφ関数（トーシェント関数）は、18世紀のスイスの数学者レオンハルト・オイラーが1763年頃に導入したとされる関数です。当初は「フェルマーの小定理」を一般の合成数に拡張する過程で研究されており、現在の記号φ（ファイ）が定着したのは後の数学者による整理によるものです。
一見すると素朴な「互いに素な数を数える」という操作ですが、φ(n)には美しい性質がいくつもあります。例えば、nの約数dすべてについてφ(d)を足し合わせると、必ずnそのものに一致します（Σφ(d) = n）。これは初等整数論における基本的な恒等式の一つです。
現代では、φ(n)はRSA暗号の鍵生成に不可欠な役割を果たしています。RSA暗号は2つの大きな素数p, qの積 n = pq を公開鍵の一部として使いますが、秘密鍵を作る際には φ(n) = (p−1)(q−1) の値が必要になります。nを素因数分解できない限りφ(n)を計算できない（少なくとも現在知られているアルゴリズムでは）という事実が、RSA暗号の安全性の根拠の一つになっています。