オイラーのφ関数（トーシェント関数・互いに素な数の個数）計算機

整数 N（1〜1,000,000）を入力すると、N と互いに素な 1〜N の整数の個数（オイラーのφ関数 φ(N)）を、答えだけでなく素因数分解と計算式つきで即時表示します。1〜100のφ(n)早見表も無料で見られます。

最終更新日: 2026-09-06

1〜100 のφ(n)早見表

1から100までの整数について、素因数分解とオイラーのφ関数の値をまとめた一覧表です。

N	素因数分解	φ(n)
1	1	1
2	2	1
3	3	2
4	2²	2
5	5	4
6	2 × 3	2
7	7	6
8	2³	4
9	3²	6
10	2 × 5	4
11	11	10
12	2² × 3	4
13	13	12
14	2 × 7	6
15	3 × 5	8
16	2⁴	8
17	17	16
18	2 × 3²	6
19	19	18
20	2² × 5	8
21	3 × 7	12
22	2 × 11	10
23	23	22
24	2³ × 3	8
25	5²	20
26	2 × 13	12
27	3³	18
28	2² × 7	12
29	29	28
30	2 × 3 × 5	8
31	31	30
32	2⁵	16
33	3 × 11	20
34	2 × 17	16
35	5 × 7	24
36	2² × 3²	12
37	37	36
38	2 × 19	18
39	3 × 13	24
40	2³ × 5	16
41	41	40
42	2 × 3 × 7	12
43	43	42
44	2² × 11	20
45	3² × 5	24
46	2 × 23	22
47	47	46
48	2⁴ × 3	16
49	7²	42
50	2 × 5²	20
51	3 × 17	32
52	2² × 13	24
53	53	52
54	2 × 3³	18
55	5 × 11	40
56	2³ × 7	24
57	3 × 19	36
58	2 × 29	28
59	59	58
60	2² × 3 × 5	16
61	61	60
62	2 × 31	30
63	3² × 7	36
64	2⁶	32
65	5 × 13	48
66	2 × 3 × 11	20
67	67	66
68	2² × 17	32
69	3 × 23	44
70	2 × 5 × 7	24
71	71	70
72	2³ × 3²	24
73	73	72
74	2 × 37	36
75	3 × 5²	40
76	2² × 19	36
77	7 × 11	60
78	2 × 3 × 13	24
79	79	78
80	2⁴ × 5	32
81	3⁴	54
82	2 × 41	40
83	83	82
84	2² × 3 × 7	24
85	5 × 17	64
86	2 × 43	42
87	3 × 29	56
88	2³ × 11	40
89	89	88
90	2 × 3² × 5	24
91	7 × 13	72
92	2² × 23	44
93	3 × 31	60
94	2 × 47	46
95	5 × 19	72
96	2⁵ × 3	32
97	97	96
98	2 × 7²	42
99	3² × 11	60
100	2² × 5²	40

オイラーのφ関数とは

オイラーのφ関数（トーシェント関数）φ(n) は、1から n までの整数のうち n と互いに素なものが何個あるかを表す関数です。互いに素とは最大公約数が1であること、つまり共通の素因数を持たないことを指します。たとえば φ(9) は、9と共通の素因数を持たない 1・2・4・5・7・8 の6個を数えて6になります。

このツールは整数 N を入れるだけで φ(N) を求め、答えだけでなく **N の素因数分解と、そこから φ(N) を導く計算式**も並べて表示します。計算式は φ(n) = n × Π(1 − 1/p) で、p は n の相異なる素因数です。同じ素因数が何乗されていても積に現れるのは1回だけで、指数は結果に影響しません。対応範囲は1から1,000,000までで、あわせて1から100までの φ(n) の早見表も載せています。

オイラーのφ関数計算機の使い方

整数 N を入力する 1以上1,000,000以下の整数を入れます。範囲を外れた値や整数でない値にはエラーが出ます。
φ(N) の値を読む入力と同時に、N と互いに素な1〜N の整数の個数が表示されます。
素因数分解を確かめる N がどの素数の積に分かれるかが示されます。φ(N) の値がどこから来ているのかを追う手がかりになります。
計算式で導き方をたどる φ(n) = n × Π(1 − 1/p) に実際の素因数を当てはめた式が表示されます。手計算の検算にそのまま使えます。
早見表で他の値と見比べる 1から100までの φ(n) の一覧が下に並んでいます。素数のときに n − 1 になることなど、規則性を目で確かめられます。

使いこなすためのヒント

オイラーのφ関数 φ(n)は「1からnまでの整数のうち、nと互いに素な数の個数」を表します。例えば φ(9) = 6（1, 2, 4, 5, 7, 8 の6個がnと互いに素）。
nが素数pのときは φ(p) = p − 1 になります。素数と互いに素な数は、その素数自身を除く1からpまでの全ての数だからです。
nが2つの相異なる素数p, qの積のとき φ(pq) = (p−1)(q−1) となり、この性質はRSA暗号の鍵生成に直接利用されています。
計算式 φ(n) = n × Π(1 − 1/p) は、nの相異なる素因数pすべてについての積です。指数（べき乗の回数）は結果に影響しません。
このツールは1〜1,000,000の範囲に対応しており、試し割り法による素因数分解で瞬時にφ(n)を求めます。

オイラーのφ関数が役立つ場面

整数論の学習と宿題の検算

手で求めた φ(n) が合っているかを確かめられます。素因数分解と計算式が併記されるため、答えだけでなく導き方の誤りも見つけられます。

RSA暗号の仕組みを理解する

RSA暗号では2つの素数 p・q の積 n = pq を公開鍵に使い、秘密鍵を作るのに φ(n) = (p−1)(q−1) が要ります。小さな素数で実際に計算してみると、この関係が具体的につかめます。

オイラーの定理を確かめる

n と互いに素な a について a^φ(n) を n で割った余りが1になる、というのがオイラーの定理です。φ(n) を先に求めておけば、実際に成り立つことを小さな数で試せます。

乗法的関数の性質を観察する

m と n が互いに素なら φ(mn) = φ(m)φ(n) が成り立ちます。早見表の値を組み合わせて、この性質が実際に成立することを確かめられます。

素因数分解そのものを調べたいとき

分解の結果だけが必要な場合は素因数分解を、素数かどうかの判定には素数判定を使ってください。

オイラーのφ関数に関する用語集

オイラーのφ関数（トーシェント関数）: 1から n までの整数のうち n と互いに素なものの個数を返す関数です。記号は φ(n) で、18世紀にレオンハルト・オイラーが導入しました。
互いに素: 2つの整数の最大公約数が1である状態です。共通の素因数を1つも持たないことと同じ意味になります。
素因数分解: 整数を素数の積の形に書き表すことです。φ(n) は n の相異なる素因数だけで決まるため、この分解が計算の出発点になります。
乗法的関数: 互いに素な m と n について f(mn) = f(m)f(n) が成り立つ関数です。φ はこの性質を持ち、大きな数の φ を素因数ごとに分けて求められる理由になっています。
オイラーの定理: n と互いに素な整数 a について、a を φ(n) 乗して n で割った余りが必ず1になるという定理です。素数の場合に限った形がフェルマーの小定理です。
RSA暗号: 大きな2つの素数の積を公開鍵に使う公開鍵暗号です。秘密鍵の計算に φ(n) が必要で、n を素因数分解できなければ φ(n) も求められないことが安全性の根拠の一つになっています。

よくある質問

整数論の基礎理論としてはもちろん、暗号理論（特にRSA暗号の鍵生成）で中心的な役割を果たします。RSA暗号では秘密鍵を求める計算に φ(n) = (p−1)(q−1) の値が使われます。

慣習として、φ(1) = 1 と定義されています。「1と互いに素な、1以下の整数」は1自身しかありませんが、数学的な整合性（乗法的関数としての性質を保つため）からφ(1)=1と定めるのが標準的な扱いです。

はい。素数pは1とp自身以外に約数を持たないため、1からpまでの整数のうちpと互いに素なものはp自身を除く全て、つまり φ(p) = p − 1 になります。

RSA暗号は2つの大きな素数p, qを掛け合わせた合成数 n = pq を公開鍵の一部にします。秘密鍵を計算するにはφ(n) = (p−1)(q−1)の値が必要ですが、nを素因数分解できなければφ(n)を求められないため、大きな数の素因数分解の困難さがRSA暗号の安全性の土台になっています。

余談ですが ― オイラーが18世紀に見つけた「互いに素」を数える関数

オイラーのφ関数（トーシェント関数）は、18世紀のスイスの数学者レオンハルト・オイラーが1763年頃に導入したとされる関数です。当初は「フェルマーの小定理」を一般の合成数に拡張する過程で研究されており、現在の記号φ（ファイ）が定着したのは後の数学者による整理によるものです。

一見すると素朴な「互いに素な数を数える」という操作ですが、φ(n)には美しい性質がいくつもあります。例えば、nの約数dすべてについてφ(d)を足し合わせると、必ずnそのものに一致します（Σφ(d) = n）。これは初等整数論における基本的な恒等式の一つです。

現代では、φ(n)はRSA暗号の鍵生成に不可欠な役割を果たしています。RSA暗号は2つの大きな素数p, qの積 n = pq を公開鍵の一部として使いますが、秘密鍵を作る際には φ(n) = (p−1)(q−1) の値が必要になります。nを素因数分解できない限りφ(n)を計算できない（少なくとも現在知られているアルゴリズムでは）という事実が、RSA暗号の安全性の根拠の一つになっています。

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