오일러 파이 함수(φ, 토션트 함수・서로소 개수) 계산기

정수 N(1〜1,000,000)을 입력하면 1부터 N까지 정수 중 N과 서로소인 개수(오일러 파이 함수 φ(N))를 답뿐만 아니라 소인수분해와 계산식과 함께 즉시 표시합니다. 1〜100의 φ(n) 조견표도 무료로 제공합니다.

마지막 업데이트: 2026-09-06

1〜100의 φ(n) 조견표

1부터 100까지의 각 정수에 대한 소인수분해와 오일러 파이 함수 값을 정리한 표입니다.

N	소인수분해	φ(n)
1	1	1
2	2	1
3	3	2
4	2²	2
5	5	4
6	2 × 3	2
7	7	6
8	2³	4
9	3²	6
10	2 × 5	4
11	11	10
12	2² × 3	4
13	13	12
14	2 × 7	6
15	3 × 5	8
16	2⁴	8
17	17	16
18	2 × 3²	6
19	19	18
20	2² × 5	8
21	3 × 7	12
22	2 × 11	10
23	23	22
24	2³ × 3	8
25	5²	20
26	2 × 13	12
27	3³	18
28	2² × 7	12
29	29	28
30	2 × 3 × 5	8
31	31	30
32	2⁵	16
33	3 × 11	20
34	2 × 17	16
35	5 × 7	24
36	2² × 3²	12
37	37	36
38	2 × 19	18
39	3 × 13	24
40	2³ × 5	16
41	41	40
42	2 × 3 × 7	12
43	43	42
44	2² × 11	20
45	3² × 5	24
46	2 × 23	22
47	47	46
48	2⁴ × 3	16
49	7²	42
50	2 × 5²	20
51	3 × 17	32
52	2² × 13	24
53	53	52
54	2 × 3³	18
55	5 × 11	40
56	2³ × 7	24
57	3 × 19	36
58	2 × 29	28
59	59	58
60	2² × 3 × 5	16
61	61	60
62	2 × 31	30
63	3² × 7	36
64	2⁶	32
65	5 × 13	48
66	2 × 3 × 11	20
67	67	66
68	2² × 17	32
69	3 × 23	44
70	2 × 5 × 7	24
71	71	70
72	2³ × 3²	24
73	73	72
74	2 × 37	36
75	3 × 5²	40
76	2² × 19	36
77	7 × 11	60
78	2 × 3 × 13	24
79	79	78
80	2⁴ × 5	32
81	3⁴	54
82	2 × 41	40
83	83	82
84	2² × 3 × 7	24
85	5 × 17	64
86	2 × 43	42
87	3 × 29	56
88	2³ × 11	40
89	89	88
90	2 × 3² × 5	24
91	7 × 13	72
92	2² × 23	44
93	3 × 31	60
94	2 × 47	46
95	5 × 19	72
96	2⁵ × 3	32
97	97	96
98	2 × 7²	42
99	3² × 11	60
100	2² × 5²	40

오일러 피 함수란

오일러 피 함수(토션트 함수) φ(n)은 1부터 n까지의 정수 가운데 n과 서로소인 것이 몇 개인지를 나타내는 함수입니다. 서로소란 최대공약수가 1이라는 뜻, 곧 공통의 소인수를 지니지 않는다는 뜻입니다. 예컨대 φ(9)는 9와 공통의 소인수를 지니지 않는 1·2·4·5·7·8의 여섯 개를 세어 6이 됩니다.

이 도구는 정수 N을 넣으시기만 하면 φ(N)을 구하고, 답뿐 아니라 **N의 소인수분해와 거기서 φ(N)을 이끌어 내는 계산식**도 나란히 보여 드립니다. 계산식은 φ(n) = n × Π(1 − 1/p)이며, p는 n의 서로 다른 소인수입니다. 같은 소인수가 몇 제곱이 되어 있어도 곱에는 한 번만 나타나며, 지수는 결과에 영향을 주지 않습니다. 대응 범위는 1부터 1,000,000까지이고, 아울러 1부터 100까지의 φ(n) 조견표도 실려 있습니다.

오일러 피 함수 계산기 사용 방법

정수 N을 입력합니다 1 이상 1,000,000 이하의 정수를 넣습니다. 범위를 벗어난 값이나 정수가 아닌 값에는 오류가 납니다.
φ(N)의 값을 읽습니다 입력과 동시에 N과 서로소인 1〜N의 정수의 개수가 표시됩니다.
소인수분해를 확인합니다 N이 어느 소수의 곱으로 나뉘는지가 표시됩니다. φ(N)의 값이 어디서 왔는지를 좇는 실마리가 됩니다.
계산식으로 이끌어 내는 과정을 따라갑니다 φ(n) = n × Π(1 − 1/p)에 실제 소인수를 넣은 식이 표시됩니다. 손으로 한 계산의 검산에 그대로 쓰실 수 있습니다.
조견표로 다른 값과 견줍니다 1부터 100까지의 φ(n) 목록이 아래에 늘어서 있습니다. 소수일 때 n − 1이 되는 것 같은 규칙성을 눈으로 확인하실 수 있습니다.

더 잘 활용하기 위한 팁

오일러 파이 함수 φ(n)은 1부터 n까지의 정수 중 n과 서로소인 개수를 나타냅니다. 예: φ(9) = 6(1, 2, 4, 5, 7, 8의 6개가 9와 서로소).
n이 소수 p일 때 φ(p) = p − 1이 됩니다. 소수와 서로소인 수는 그 소수 자신을 제외한 1부터 p까지의 모든 수이기 때문입니다.
n이 서로 다른 두 소수 p, q의 곱일 때 φ(pq) = (p−1)(q−1)이 되며, 이 성질은 RSA 암호의 키 생성에 직접 활용됩니다.
계산식 φ(n) = n × Π(1 − 1/p)는 n의 서로 다른 소인수 p 전체에 대한 곱입니다. 지수(거듭제곱 횟수)는 결과에 영향을 주지 않습니다.
이 도구는 1〜1,000,000 범위를 지원하며, 시행 나눗셈법을 통한 소인수분해로 φ(n)을 즉시 구합니다.

오일러 피 함수가 도움이 되는 상황

정수론의 학습과 숙제 검산

손으로 구하신 φ(n)이 맞는지 확인하실 수 있습니다. 소인수분해와 계산식이 함께 적히므로, 답뿐 아니라 이끌어 내는 과정의 잘못도 찾아내실 수 있습니다.

RSA 암호의 얼개를 이해하기

RSA 암호에서는 두 소수 p·q의 곱 n = pq를 공개키에 쓰고, 개인키를 만드는 데 φ(n) = (p−1)(q−1)이 필요합니다. 작은 소수로 실제로 계산해 보시면 이 관계를 구체적으로 잡으실 수 있습니다.

오일러의 정리를 확인하기

n과 서로소인 a에 대해 a^φ(n)을 n으로 나눈 나머지가 1이 된다는 것이 오일러의 정리입니다. φ(n)을 먼저 구해 두시면 작은 수로 실제로 성립함을 시험하실 수 있습니다.

곱셈적 함수의 성질을 살피기

m과 n이 서로소이면 φ(mn) = φ(m)φ(n)이 성립합니다. 조견표의 값을 짜 맞추어 이 성질이 실제로 성립함을 확인하실 수 있습니다.

소인수분해 자체를 알고 싶으실 때

분해의 결과만 필요하시면 소인수분해를, 소수인지의 판정에는 소수 판정을 써 주세요.

오일러 피 함수에 관한 용어집

오일러 피 함수(토션트 함수): 1부터 n까지의 정수 가운데 n과 서로소인 것의 개수를 돌려주는 함수입니다. 기호는 φ(n)이며, 18세기에 레온하르트 오일러가 도입했습니다.
서로소: 두 정수의 최대공약수가 1인 상태입니다. 공통의 소인수를 하나도 지니지 않는다는 것과 같은 뜻입니다.
소인수분해: 정수를 소수의 곱의 꼴로 써서 나타내는 것입니다. φ(n)은 n의 서로 다른 소인수만으로 정해지므로, 이 분해가 계산의 출발점이 됩니다.
곱셈적 함수: 서로소인 m과 n에 대해 f(mn) = f(m)f(n)이 성립하는 함수입니다. φ는 이 성질을 지니며, 큰 수의 φ를 소인수별로 나누어 구할 수 있는 까닭이 됩니다.
오일러의 정리: n과 서로소인 정수 a에 대해, a를 φ(n) 제곱해 n으로 나눈 나머지가 반드시 1이 된다는 정리입니다. 소수인 경우로 한정한 꼴이 페르마의 소정리입니다.
RSA 암호: 큰 두 소수의 곱을 공개키에 쓰는 공개키 암호입니다. 개인키의 계산에 φ(n)이 필요하며, n을 소인수분해하지 못하면 φ(n)도 구할 수 없다는 점이 안전성의 근거 가운데 하나입니다.

자주 묻는 질문

정수론의 기초 이론으로서뿐 아니라, 암호 이론(특히 RSA 암호의 키 생성)에서 핵심적인 역할을 합니다. RSA 암호에서는 비밀키를 구하는 계산에 φ(n) = (p−1)(q−1) 값이 사용됩니다.

관례적으로 φ(1) = 1로 정의합니다. 「1과 서로소이면서 1 이하인 정수」는 1 자신뿐이지만, 함수의 곱셈적 성질을 유지하기 위해 φ(1) = 1로 정하는 것이 표준적인 수학적 관례입니다.

네. 소수 p는 1과 자기 자신 외에는 약수를 갖지 않으므로, 1부터 p까지의 정수 중 p를 제외한 모든 수가 p와 서로소입니다. 따라서 φ(p) = p − 1이 됩니다.

RSA 암호는 두 개의 큰 소수 p, q를 곱한 합성수 n = pq를 공개키의 일부로 사용합니다. 비밀키를 계산하려면 φ(n) = (p−1)(q−1) 값이 필요한데, n을 소인수분해하지 못하면 φ(n)을 구할 수 없기 때문에 큰 수의 소인수분해가 어렵다는 점이 RSA 암호 안전성의 토대가 됩니다.

여담 ― 18세기 오일러가 발견한 「서로소」를 세는 함수

오일러 파이 함수(토션트 함수)는 18세기 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 1763년경 도입한 것으로 알려져 있습니다. 처음에는 페르마의 소정리를 합성수로 일반화하는 과정에서 연구되었으며, 현재 사용되는 기호 φ(파이)는 이후 다른 수학자들이 표기법을 정리하면서 정착되었습니다.

얼핏 단순해 보이는 「서로소인 수를 세는」 연산이지만, φ(n)에는 몇 가지 아름다운 성질이 있습니다. 예를 들어 n의 모든 약수 d에 대해 φ(d)를 더하면 반드시 n 자신과 일치합니다(Σφ(d) = n). 이는 초등 정수론의 기본 항등식 중 하나입니다.

오늘날 φ(n)은 RSA 암호의 키 생성에 필수적인 역할을 합니다. RSA 암호는 두 개의 큰 소수 p, q의 곱 n = pq를 공개키의 일부로 사용하는데, 비밀키를 만들 때 φ(n) = (p−1)(q−1) 값이 필요합니다. n을 소인수분해하지 않고는 φ(n)을 계산할 수 없다는 사실(적어도 현재 알려진 알고리즘으로는)이 RSA 암호 안전성의 근거 중 하나입니다.

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